В.7. Схема гибели и размножения

Размеченный граф состояний для схемы гибели и размножения имеет следующий вид:

λ₀₁ λ₁₂ λ₂₃ λ_k-1k λ_{k k+1} λ_{n-1 n}

S₀ S₁ S₂ S_к S_n

λ₁₀ λ₂₁ λ₃₂ λ_{k k-1} λ_{k+1 k} λ_{n n-1}

S_k соответствует численности популяции, равной k, переход S_k  S_k+1 происходит при рождении одного члена популяции, а S_k  S_k-1 – при гибели одного члена популяции. Из состояния S_k переход возможен только в S_k+1 или в S_k-1.

Найдем для этой схемы ФВС. Используем правило. Считаем, что все потоки событий простейшие, и процесс в системе – простейший.

Для состояния S₀ имеем:

для состояния S₁ имеем с учетом (1):

откуда аналогично:

Решим эту систему. Выразим р₁ через р₀:

Далее:

и т.д. Все вероятности выражены через р₀.

Подставим в нормировочное условие:

откуда:

Т.о. Формулы для предельных вероятностей состояний:

,

, , …, .

З адача 1. Найти предельные вероятности состояний для следующего процесса гибели и размножения: 1 2

S₀ S₁ S₂

4. 3

Задача 2. То же для следующего процесса:

2 3

S₀ S₁ S₂

4. 4