В.6. Уравнения Колмогорова в системах массового обслуживания. Уравнения Колмогорова для вероятностей состояния

При анализе СМО принято считать, что все переходы СМО из состояния в состояние происходят под действием простейших потоков. В этом случае процесс в СМО будет марковским.

Вероятностью i–го состояния называется вероятность p_i(t) того, что в данный момент t система будет находиться в состоянии S_i(t). Очевидно, что для любого момента t сумма всех вероятностей состояний равна единице:

(3)

Система дифференциальных уравнений, которые называются уравнениями А.Н. Колмогорова, для определения вероятностей составляется с помощью следующего общего правила.

Общее правило составления уравнений Колмогорова:

• в левой части i-го уравнения стоит производная вероятности i-го состояния;

• в правой части каждого i-го уравнения стоит сумма произведений вероятностей всех состояний, из которых возможен непосредственный переход в i-ое состояние, на интенсивности соответствующих потоков, минус суммарная интенсивность всех потоков, выводящих сумму из i-го состояния, умноженная на вероятность данного состояния.

В системе независимых уравнений на 1 меньше общего числа уравнений. Поэтому для решения системы необходимо добавить (3).

Уравнения Колмогорова дают возможность найти все вероятности состояний как функции времени. Особый интерес представляют вероятности состояний в предельном стационарном режиме, т.е. при , которые называются предельными (или финальными) вероятностями состояний.

Предельная вероятность состояния S_i показывает среднее относительное время пребывания системы в этом состоянии при установившемся (т.е. стационарном) режиме функционирования СМО.

Теорема. Если число состояний системы конечно, и из каждого из них можно за конечное число шагов перейти в любое другое состояние, то предельные вероятности существуют.

где I₀ – множество всех состояний СМО.

Для определения дельных вероятностей состояний необходимо положить в уравнениях Колмогорова все левые части равными нулю и решить полученную систему линейных алгебраических уравнений относительно р_i, дополнив ее уравнением:

Любое из уравнений Колмогорова можно отбросить, т.к. оно является линейной комбинацией остальных.

При составлении системы для определения предельных вероятностей состояний можно использовать следующее правило: Слева в уравнениях стоит предельная вероятность данного состояния p_i, умноженная на суммарную интенсивность всех потоков, ведущих из данного состояния, а справа – сумма произведений интенсивностей всех потоков, входящих в i –ое состояние, на вероятности тех состояний из которых эти потоки исходят.

Для решения этой системы необходимо знать _ij ( ).