Методические указания

Лабораторная работа № 9 моделирование объектов с распределенными параметрами

Цель работы:

Ознакомиться с набором инструментов PDE Toolbox системы MATLAB на примере решения задачи распространения тепла в плоской пластине.

Краткие сведения из теории

Дифференциальное уравнение теплопроводности для одной пространственной координаты будет иметь вид

, (9.1)

где – частная производная температуры по времени;– частная производная второго порядка температуры по координате; – коэффициент температуропроводности; –тепловой поток внутренних источников тепла [Вт/м²]; – плотность [кг/м³]; – теплоемкость [Дж/кг·град].

В терминах векторного анализа уравнение (9.1) будет иметь вид

(9.2а)

(9.2б)

(9.2с)

в этих уравнениях – оператор Лапласа; – оператор Гамильтона; – дивергенцияградиента температуры;

Градиент температуры – это вектор, направленный по нормали к изотермической поверхности в сторону возрастания температуры и численной равный производной от температуры по этому направлению.

Коэффициент температуропроводности характеризует скорость изменения температуры. Коэффициент температуропроводности является мерой теплоинерционных свойств тела. Из уравнения (9.1) следует, что изменение температуры во времени для любой точки пространства

Разработана с ас. Жаданосом А.В.

пропорционально величине . Скорость изменения температуры в любой точке тела будет тем больше, чем больше коэффициент температуропроводности. Поэтому при прочих равных условиях выравнивание температур во всех точках пространства будет происходить быстрее в том теле, которое обладает большим коэффициентом температуропроводности. Величина коэффициента температуропроводности зависит от природы вещества. Коэффициент температуропроводности можно вычислить по формуле

,[м²/с] (9.3)

–коэффициент теплопроводности [Вт/м·град].

Подставляя выражение (3) уравнение (1) получим

(9.4)

Коэффициент теплопроводности характеризует способность тел проводить тепло. Чем больше коэффициент, тем быстрее прогревается тело.

Различают стационарный и нестационарный процессы типы передачи. При установившемся (стационарном режиме) температура тела не зависит от времени и поэтому левая часть дифференциального уравнения теплопроводности равна нулю. При нестационарном режиме температура тела зависит от времени. В случае стационарного режима используется для решения эллиптическое уравнение, а в случае нестационарного режима используется параболическое уравнение. В случае, если в теле нет внутренних источников тепла, выражение .

Для численного решения задачи распространения тепла в пластине необходимо задать начальные условия и граничные (краевые) условия.

Начальные условия устанавливают распределение температуры в теле в определенный момент времени, чаще всего в момент времени .

Краевые условия характеризуют тепловые условия на поверхности тела, которые должны быть известны в любой момент времени.

Различают следующие виды граничных (краевых) условий.

Граничные условия первого рода. При этом задается распределение температуры на поверхности тела для каждого момента времени. По другому их называют еще условиями Дирихле.
Граничные условия второго рода. При этом задаются величины теплового потока для каждой точки поверхности тела и любого момента времени. По другому их называют еще условиями Неймана. Тепловой поток пропорционален .
Граничные условия третьего рода. При этом задается температура окружающей среды и закон теплообмена между поверхностью и окружающей средой. Граничное условие третьего рода характеризует закон теплообмена между поверхностью и окружающей средой в процессе охлаждения и нагревания тела.
Граничные условия четвертого рода характеризуют условия теплообмена системы тел или тела с окружающей средой по закону теплопроводности.

Решение уравнений теплопроводности в системе MATLAB

В системе MATLAB дифференциальные уравнения в частных производных (PDE) могут быть решены методом конечных элементов двумя способами:

Путем составления программы на языке MATLAB;
При помощи специальной панели инструментов – графического интерфейса пользователя (GUI) PDE Toolbox.

В данной работе будет рассматриваться второй способ. Он позволяет решать поставленные задачи с граничными условиями Дирихле и Неймана.

Для запуска PDE Toolbox в командной строке окна управления нужно выполнить команду pdetool. После чего откроется окно, в котором находятся инструменты и рабочая область, в которой строится и отображается численное решение уравнений.

Пример

Решить задачу нагрева пластины толщиной 2 см., высотой 1,6 см. Посредине пластины имеется прямоугольное отверстие шириной 0,1 см. и высотой 0,8 см. Продолжительность нагрева 5 секунд.

Граничные условия:

u = 100 – на левой границе;
u = -10 – на правой границе;
на остальных границах .

Начальное условие u(0) = 20. Определить распределение температур по длине пластинки.

Содержание