§ 9. Приближенное разыгрывание нормальной случайной величины
Напомним предварительно, что если случайная величина R распределена равномерно в интервале (0,1), то ее математическое ожидание и дисперсия соответственно равны (см. гл. XII, § 1, замечание 3):
M(R)=1/2, (*)
D(R)=1/2. (**)
Составим сумму п независимых, распределенных равномерно в интервале (0,1) случайных величин Rj(j=1, 2, ...,n):
(***)
Для нормирования этой суммы найдем предварительно ее математическое ожидание и дисперсию.
Известно, что математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых. Сумма (***) содержит п слагаемых, математическое ожидание каждого из которых в силу (*) равно 1/2; следовательно, математическое ожидание суммы (***)
Известно, что дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых. Сумма (***) содержит n независимых слагаемых, дисперсия каждого из которых в силу (**) равна 1/12; следовательно, дисперсия суммы (***)
Отсюда среднее квадратическое отклонение суммы (***)
Пронормируем рассматриваемую сумму, для чего вычтем математическое ожидание и разделим результат на среднее квадратическое отклонение:
В силу центральной предельной теоремы при п→∞ распределение этой нормированной случайной величины стремится к нормальному с параметрами а=0 и σ=1. При конечном п распределение приближенно нормальное. В частности, при п = 12 получим достаточно хорошее и удобное для расчета приближение
Правило. Для того чтобы разыграть возможное значение xi нормальной случайной величины Х с параметрами а=0 и σ=1, надо сложить 12 независимых случайных чисел и из полученной суммы вычесть 6:
Пример, а) Разыграть 100 возможных значений нормальной величины Х с параметрами а=0 и σ=1; б) оценить параметры разыгранной величины.
Решение. а) Выберем 12 случайных чисел из первой строки таблицы *), сложим их и из полученной суммы вычтем 6; в итоге имеем
xi=(0,10+0,09+...+0,67) - 6= - 0,99.
Аналогично, выбирая из каждой следующей строки таблицы первые 12 чисел, найдем остальные возможные значения X.
б) Выполнив расчеты, получим искомые оценки:
Оценки удовлетворительные: а* близко к нулю, σ* мало отличается от единицы.
Замечание. Если требуется разыграть возможное значение zi, нормальной случайной величины Z с математическим ожиданием а и средним квадратическим отклонением σ, то, разыграв по правилу настоящего параграфа возможное значение xi, находят искомое возможное значение по формуле
zi=σxi+a.
Эта формула получена из соотношения (zi-a)/σ=xi.
Задачи
1. Разыграть 6 значений дискретной случайной величины X, закон распределения которой задан в виде таблицы
X | 2 | 3,2 | 10 |
p | 0,18 | 0,24 | 0,58 |
Указание. Для определенности принять, что выбраны случайные числа: 0,73; 0,75; 0,54; 0,08; 0,28; 0,53. Отв. 10; 10; 10; 2; 3; 22; 10.
2. Разыграть 4 испытания, в каждом из которых вероятность появления события А равна 0,52.
Указание. Для определенности принять, что выбраны случайные числа: 0;28; 0,53; 0,91; 0,89.
Отв. А,,.
3. Заданы вероятности трех событий, образующих полную группу: Р(А1)=0,20, Р(А2)=0,32, Р(А3)=0,48. Разыграть 6 испытаний, в каждом из которых появляется одно из заданных событий.
Указание. Для определенности принять, что выбраны случайные числа: 0,77; 0,19; 0,21; 0,51; 0,99; 0,33.
Отв. А3, А1, А2, А2, А3, А2.
4. События А и В независимы и совместны. Разыграть 5 испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна 0,5, а события В—0,8.
Указание. Составить полную группу событий: А1=АВ, для определенности принять случайные числа: 0,34; 0,41; 0,48; 0,21; 0,57.
Отв. А1, А2, А2, А1, А3.
5. События А, В, С независимы и совместны. Разыграть 4 испытания в каждом из которых вероятности появления событий заданы: Р(А)=0,4, Р(В)=0,6, Р(С)=0,5.
Указание. Составить полную группу событий: для определенности принять, что выбраны случайные числа: 0,075; 0,907; 0,401; 0,344.
Отв.А1, А8, А4, А4.
6. События А и В зависимы и совместны. Разыграть 4 испытания, в каждом из которых заданы вероятности: Р(А)=0,7, Р(В)=0,6, Р(АВ)=0,4.
Указание. Составить полную группу событий: А1=АВ, для определенности принять случайные числа: 0,28; 0,53; 0,91; 0,89.
Отв. А1, А2 , А4 , А3.
7. Разыграть 3 возможных значения непрерывной случайной величины X, которая распределена по показательному закону и задана функцией распределения F(х)=1 - е-10x.
Указание. Для определенности принять, что выбраны случайные числа: 0,67; 0,79; 0,91.
Отв. 0,04; 0,02; 0,009.
8. Разыграть 4 возможных значения непрерывной случайной величины X, распределенной равномерно в интервале (6,14).
Указание. Для определенности принять, что выбраны случайные числа: 0,11: 0,04; 0,61; 0,93.
Отв. 6,88; 6,32; 10,88; 13,44.
9. Найти методом суперпозиции явные формулы для разыгрывания непрерывной случайной величины X, заданной функцией распределения
F(x)=1- (1/3)(2е-2x+е-3x:), 0<х<∞.
Отв. х= - (1/2)1п r2, если r1< 2/3; х= - (1/3)1п r2, если r1≥2/3.
10. Найти явную формулу для разыгрывания непрерывной случайной величины X, заданной плотностью вероятности f(х) =b/(1 +ax)2 в интервале 0≤x≤1/(b-a); вне этого интервала f(x)=0.
Отв. хi= - ri/(b - ari).
11. Разыграть 2 возможных значения нормальной случайной величины с параметрами: а) а=0, σ=1; б) а =2, σ=3.
Указание. Для определенности принять случайные числа (далее указано число сотых долей; например, числу 74 соответствует случайное число r1=0,74): 74. 10, 88, 82. 22, 88, 57, 07, 40, 15, 25, 70; 62, 88, 08, 78, 73, 95, 16, 05, 92, 21, 22, 30.
Отв. а) x1= - 0,22, x2= - 0.10; 6) z1=1,34, z2=2,70.
Глава двадцать вторая
ПЕРВОНАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ЦЕПЯХ МАРКОВА
- § 1. Предмет метода Монте-Карло
- § 2. Оценка погрешности метода Монте—Карло
- § 3. Случайные числа
- § 4. Разыгрывание дискретной случайной величины
- § 5. Разыгрывание противоположных событий
- § 6. Разыгрывание полной группы событий
- § 7. Разыгрывание непрерывной случайной величины.
- § 8. Метод суперпозиции
- § 9. Приближенное разыгрывание нормальной случайной величины
- § 1. Цепь Маркова
- § 2. Однородная цепь Маркова.
- § 3. Равенство Маркова