1.3 Закон равномерной плотности

К наиболее распространенным в природе законам распределения относят следующие: закон равномерной плотности, нормальный закон распределения, закон Пуассона и экспоненциальное распределение. Рассмотрим их более подробно.

Случайную непрерывную величину X называют распределенной равномерно на интервале (a, b), если ее плотность распределения на этом интервале постоянна, а вне этого интервала равна нулю.

Пусть случайная величина X может принимать частные значения от a до b, причем все частные значения равновероятны (Рис.7). Требуется определить выражение для плотности вероятности f(x).

Рисунок 7 График плотности распределения случайной величины X

Для определения выражение для плотности вероятности f(x) воспользуемся свойством плотности распределения

.

Поскольку по определению f(x) есть величина постоянная, то ее можно вынести за знак интеграла, т.е.

. Откуда .

Зная выражение для плотности вероятности f(x), можно найти функцию распределения как

.

График функции равномерного распределения в соответствии с этим выражением примет вид, изображенный на рис.8.

Рисунок 8 График функции равномерного распределения

При известном выражении для плотности равномерного распределения нетрудно вывести выражения, позволяющие вычислить математическое ожидание, дисперсию и средне - квадратичное отклонение для этого закона

; ; .

Вероятность попадания случайной величины на заданный участок.

Пусть случайная величина X распределена равномерно на интервале от a до b, причем плотность вероятности ее известна и равна f(x)=1/(b-a). Требуется определить вероятность попадания ее на участок от c до d (рис.9), т.е. .

Рисунок 9 Определение вероятности попадания случайной величины на заданный участок

Определяя эту вероятность как интеграл от плотности вероятности f(x), получаем

.

Следовательно, вероятность попадания случайной величины на заданный участок от c до d определяется как площадь заштрихованного прямоугольника.

Округление результатов измерений имеет равномерное распределение.