Как вычислить факториал?

В условие (16) входит r!; этот-то факториал и «мешает» нам. Вспомним, что факториал фигурирует в выражении для биномиальных коэффициентов ¹⁰: при t ≥ r

то есть

Многочлен, стоящий в числителе, имеет довольно сложную структуру. Попытаемся заменить его более простым — а именно, многочленом t^r. При t ≥ r имеем:

Легко видеть, что

однако эта запись факториала нам ничего не даст, поскольку t, будучи параметром в искомой системе уравнений, сможет принимать любые, сколь угодно большие, но конечные значения. Но мы и не будем переходить к пределу, а воспользуемся целочисленностью r! — из (19) и (20) следует, что при достаточно больших t

Лемма 4. Формула (21) верна как только t≥2r^r+2.

Лемма 4 позволяет преобразовать условие (16) в эквивалентную ему относительно параметров r и s систему (проверьте эквивалентность!)

Здесь условия (22), (24) и (25) имеют требуемый вид, и нам остаётся лишь найти систему экспоненциально диофантовых уравнений, эквивалентных условию (23) относительно параметров r, t и c.

Итак, нам осталось «избавиться» от биномиального коэффициента.