«Числовые и функциональные ряды»

Числовые ряды (общие понятия). Сумма, частичная сумма, остаток ряда. Сходимость и расходимость ряда. Знакоположительные, знакочередующиеся и знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость. Признаки сходимости. Необходимый признак. Достаточные признаки абсолютной сходимости: признаки сравнения, Даламбера, Коши, интегральный признак Коши. Достаточный признак Лейбница условной сходимости.

Функциональные ряды (общие понятия). Область сходимости. Мажорируемые ряды. Равномерная сходимость. Свойства равномерно сходящихся рядов: непрерывность суммы, возможность интегрирования и дифференцирования.

Степенные ряды. Теорема Абеля. Круг (интервал) и радиус сходимости, правила их нахождения. Свойства степенных рядов. Ряд Тейлора (Маклорена).

Обобщенные ряды Фурье. Ортогональная (ортонормированная) система функций. Аппроксимация (разложение) функции по ортогональной системе. Коэффициенты Фурье разложения.

Ряды Фурье (тригонометрические). Тригонометрическая система функций. Формулы Эйлера-Фурье и их обобщение. Правила разложения в ряд Фурье: четных и нечетных функций, функций с произвольным периодом и непериодических функций. Условия сходимости.

Ряды с комплексными членами. Действия над рядами. Свойства сходящихся рядов. Основные операции над сходящимися рядами: сложение (вычитание) рядов, умножение ряда на число, умножение рядов.

Ряд Лорана. Приложения степенных рядов.

Экстремальное свойство отрезков ряда Фурье. Неравенство Бесселя. Уравнение замкнутости. Равенство Парсеваля-Стеклова.