«Обыкновенные дифференциальные уравнения»

Дифференциальные уравнения (основные понятия). Общий вид и порядок уравнения (системы уравнений). Нормализация системы. Общий интеграл и общее решение. Задача и теорема Коши. Особые решения.

Уравнения первого порядка. Правила и способы решения уравнений, интегрируемых в квадратурах: с разделяющимися переменными, однородное, линейное, в полных дифференциалах, Бернулли, Клеро и Лагранжа.

Уравнения, допускающие понижение порядка. Правила понижения порядка в ситуациях, когда в уравнении отсутствует независимая переменная или (и) неизвестная функция и некоторые ее производные, известно частное решение.

Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами. Характеристический многочлен. Правила построения общего решения уравнения (системы уравнений) в случае действительных, комплексных, кратных корней характеристического многочлена.

Линейные неоднородные уравнения. Метод вариации произвольных постоянных. Метод неопределенных коэффициентов для уравнения (системы уравнений) с правой частью в виде квазимногочленов. Метод подстановки для уравнения Эйлера.

Фундаментальная система решений. Определитель Вронского. Метод исключения для нормальной системы.

Методы решения задачи Коши для уравнений (систем уравнений) первого порядка: численные - Эйлера, Рунге-Кутта, Милна; аналитические - последовательных приближений, последовательного дифференцирования.

Устойчивость по Ляпунову. Понятие устойчивости решения системы по Ляпунову. Устойчивость системы двух дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Приложения. Примеры дифференциальных уравнений как моделей реальных физических процессов и явлений. Геометрические задачи, сводящиеся к построению и интегрированию дифференциальных уравнений.