Дедуктивная полнота и категоричность системы аксиом.
Для структуры ∑{T,Ð ,М} всякой системы аксиом Т определено множеств И – утверждений или высказываний, связывающих элементы Т, Ð, М этой структуры. (Напомним, что М – множество базовых элементов, а Ð – множество отношений между элементами М, см п.6.1-6.2., §6). Любое высказывание "и"И обладает одним из следующих трех свойств. Высказывание "и" является доказуемым в теории Т∑, обозначим множество таких высказываний Д. Высказывание "и"И опровержимо в системе Т∑, обозначим множество таких высказываний О. Наконец, высказывание "и"И является ни доказуемым, ни опровержимым, то есть неопределенным; множество таких "и" обозначим Н. Таким образом, множество всех высказываний И, касающихся понятий структуры∑Т, есть сумма непересекающихся классов:
И=ДUОUН (1)
- Оглавление.
- Пример 1
- Пример 2
- Пример 3
- Вопрос.
- Глава I Математический формализм
- О понятии действительных чисел
- Формализм натуральных чисел.
- Операции, определяющие формирование множества рациональных чисел.
- Вывод 1.
- Вывод 2.
- Аксиома связи сложения и умножения.
- Задача 2.
- Вывод 3.
- Аксиоматизация множества действительных чисел.
- Аксиома непрерывности Кантора.
- Аксиоматическое обоснование евклидовой геометрии.
- О“Началах” Евклида.
- Аксиоматика д. Гильберта(1862-1943)
- Группа 1. Аксиомы соединения.
- Теорема 1.
- Теорема 2.
- Теорема 3.
- Группа 2. Аксиомы порядка.
- Определение.
- Группа 3. Аксиомы конгруэнтности.
- Теорема (о внешнем угле треугольника).
- Определение движения.
- Замечание 1.
- Вывод 1.
- Вывод 2.
- Группа 4. Аксиомы непрерывности.
- Замечание 2.
- Замечание 3.
- Вывод 3.
- Группа 5. Аксиома параллельности.
- Замечание 4.
- Два недостатка аксиоматики д. Гильберта.
- Структура векторного пространства.
- Модель направленных отрезков.
- Сложение обладает свойствами:
- Свойства операции умножения:
- Определение.
- Арифметическая модель векторного пространства.
- Теорема размерности.
- Вывод 1.
- Вывод 2.
- Вывод 3.
- Аксиомы скалярного произведения векторов.
- Следствие.
- Следствие.
- Вывод 4.
- Определение.
- Модель Вейля евклидовой геометрии.
- Арифметизация трехмерного евклидова пространства.
- Свойства операции откладывания вектора.
- Определение.
- Вывод 1.
- Вывод 2.
- Многомерное арифметическое евклидово пространство.
- Вывод 3.
- Замечание.
- Следствие 1.
- Основные факты в планиметрии Лобачевского.
- 1. Сумма углов многоугольника в плоскости l2.
- Следствие 2.
- Вывод 3.
- Главаii Свойства аксиоматических систем.
- Математические структуры и аксиоматические теории.
- Понятие отношений между объектами.
- Следствие 1.
- Пример 1.
- Определение.
- Следствие 2.
- Понятие математической структуры.
- Определение.
- Замечание 1.
- Формальная и содержательная аксиоматики. Теории и структуры.
- Рассмотрим пример.
- Вывод 1.
- Вывод 2.
- Определение.
- Изоморфизм.
- Пример 1.
- Пример 2.
- Определение изоморфизма.
- Вывод 3.
- Вывод 1.
- Независимость аксиоматической системы.
- Независимость аксиомы параллельности.
- Замечание 1.
- Дедуктивная полнота и категоричность системы аксиом.
- Определение (дедуктивной полноты).
- Определение (категоричности).
- Историческая роль V постулата Евклида в развитии оснований математики.
- Анализ текстовых парадоксов.
- Языковые свойства имен объектов.
- Пример 1.
- Пример 2.
- Пример 3.
- Проблема выразимости.
- Понятие искусственного языка.
- Понятие парадокса.
- “Ахиллес и черепаха”.
- Парадокс пустого множества.
- Парадокс достижимости в натуральном ряде.
- “Одно и то же, но по-разному”
- Пример 1.
- Пример 2.
- Заключение.
- Обозначения.
- Литература