23. В шар радиуса r вписана правильная четырехугольная пирамида, с плоским углом при вершине, равным . Найдите объем пирамиды.

24. В основании прямой призмы лежит равнобедренный треугольник с углом при основании. Через диагонали двух равных боковых граней, которые пересекаются в вершине верхней грани, проведено сечение. Перпендикуляр, опущенный из вершины нижнего основания призмы, которая не принадлежит данному сечению, к этому сечению, наклонен к плоскости основания под углом и равен а. Найдите объем цилиндра, вписанного в данную призму.

25. В правильной четырехугольной пирамиде боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом . Вычислите объем пирамиды, если радиус шара, описанного около нее, равен R.

26. В основании пирамиды лежит равнобедренный треугольник с углом при основании. Все боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под углом . Вычислите объем пирамиды, если радиус шара, описанного около нее, равен R.

Варіант 19

Описати методику розв’язання задачі. Для виділених задач побудувати зображення комбінацій тіл.

1. Из середины большей стороны прямоугольника восставлен перпендикуляр к его плоскости. Его конец удален от одной из диагоналей на расстояние 30 см. Найдите длину перпендикуляра, если стороны прямоугольника равны 45 см и 60 см.

2. Величина двугранного угла 60°. Две прямые, лежащие в гранях этого угла, параллельны и находятся от его ребра на расстоянии 4 см и 2 см. Найдите расстояние между этими прямыми.

3. Из некоторой точки пространства к плоскости треугольника, стороны которого равны 15 см, 21 см и 24 см, проведен перпендикуляр. Основание этого перпендикуляра принадлежит стороне, равной 24 см, а две другие стороны равноудалены от данной точки на 10 см. Вычислите расстояние от этой точки до плоскости треугольника.

4. Площадь равнобедренного треугольника равна 1200 см , а его основание 60 см. Точка пространства удалена от каждой стороны треугольника на 39 см. Вычислите расстояние от этой точки до плоскости треугольника.

5. В треугольнике ABC АВ=25 см, АС=17 см, ВС=26 см. К плоскости треугольника через вершину А проведена наклонная, образующая со сторонами АВ и АС равные углы. Проекция этой наклонной пересекает ВС в точке Е. Найдите длину АЕ.

6. Площадь равнобедренного треугольника равна 1200 см , а его высота, проведенная к основанию равна 40 см. Расстояние от некоторой точки пространства до плоскости треугольника равно 36 см, а расстояния от этой точки до сторон треугольника равны. Вычислите это расстояние.

7. Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через диагональ основания АС, и параллельной диагонали. B D куба. Вычислите площадь сечения, если ребро куба равно а.

8. Составьте уравнение сферы, которая: проходит через точку А (2; -1; -3), а центр ее находится в точке С (3; -2; 1).

9. Пусть О - центр правильного шестиугольника ABCDEF. Доказать: .

10. Дан параллелепипед , , . Выразите вектор через векторы и , если М - точка пересечения отрезков АС и BD.

11. Отрезки АВ, АС и AD взаимно перпендикулярны. М - середина CD. Найдите длину ВМ, если АВ = b, АС = с, AD = a.

12. В основании прямой призмы лежит равнобокая трапеция с боковой стороной d и тупым углом , причем диагонали трапеции взаимно перпендикулярны. Диагональ призмы наклонена к плоскости основания под углом . Найдите объем призмы.

13. В наклонной треугольной призме две боковые грани взаимно перпендикулярны, а их общее ребро имеет длину 24 м и удалено от двух других ребер на расстояние 12 м и 35м. Вычислить площадь боковой поверхности призмы.

14. В правильной треугольной пирамиде плоский угол при вершине равен . Найдите объем пирамиды, если ее боковое ребро равно l.

15. В правильной треугольной пирамиде боковое ребро равно m, а двугранный угол при основании равен . Найдите полную поверхность пирамиды.

16. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна а. Угол между смежными боковыми гранями равен . Найдите боковую поверхность пирамиды.

17. В правильной треугольной пирамиде боковое ребро равно l, а боковая грань наклонена к плоскости основания под углом . Найти объем пирамиды.

18. В цилиндре параллельно его оси проведена плоскость, которая пересекает его нижнее основание по хорде, которую видно из центра этого основания под углом . Отрезок, который соединяет центр верхнего основания цилиндра с серединой хорды нижнего основания, наклонен к плоскости нижнего основания под углом . Найдите площадь сечения, диагональ которого равна d.

19. Высота и образующая конуса относятся как 4:5, а объем конуса 96 см . Найти его полную поверхность.

20. В основании пирамиды лежит равнобедренный треугольник с углом при основании и радиусом вписанного круга r. Найдите объем описанного около пирамиды шара, если боковые ребра пирамиды наклонены под углом к основанию.