Послідовність незалежних випробувань. Формула Бернуллі.
На практиці доводиться зустрічатись із задачами, які виникають у багаторазово повторюваних випробуваннях, в результаті кожного з яких може з'явитися або не з'явитися подія А. При цьому інтерес уявляє результат не кожного окремого випробування, а загальне число появ події А в результаті певної кількості випробувань. У подібних випадках потрібно вміти визначати ймовірність будь-якого числа m появ події А в результаті n випробувань.
Розглянемо випадок, коли випробування є незалежними й імовірність появи події А в кожному випробуванні однакова й дорівнює р, тоді Р() = 1 –р = q . Розглянемо приклад.
Монету підкидають 5 разів. Знайти ймовірність того, що герб з'явиться 3 рази.
Позначимо події:
А - поява герба в одному випробуванні,
В - герб з'явиться 3 рази в серії з п'яти випробувань.
За допомогою алгебраїчних дій подію В можна записати:
В = ААА+ ААА+ ААА +ААА +ААА + ААА +
+
У кожний добуток подія А входить 3 рази, а подія 5-3=2 разів, число додатків дорівнює. За формулами додавання й множення одержимо
Р(В) = Р(ААА) + Р(ААА) + Р(ААА) + Р(ААА) + Р(ААА) +
+ Р(ААА ) + Р(ААА) + Р(ААА) + Р(ААА) + Р(ААА) =
= =, це і є формула Бернуллі.
Запишемо цю формулу в загальному виді. Нехай Р(n,m) – ймовірність того, що в n незалежних випробуваннях подія А наступить m раз. Тоді
Р(n,m) = .
Доведення формули Бернуллі аналогічне розв’язанню розглянутої вище задачі.
Приклад 9. Вироби деякого виробництва містять 5% браку. Знайти ймовірність того, що серед шести, узятих навмання виробів:
буде два бракованих;
не буде бракованих;
буде хоча б один бракований.
Тут А – поява бракованого виробу, Р(А) = 0,05 , Р() = 1- 0,05 = 0,95,
n=6. За формулою Бернуллі
при m = 2, Р(6,2) = = 0,03;
при m = 0, Р(6,0) = (0,95) 0,73;
у цьому випадку задачу можна розв’язати двома способами.
Перший спосіб. Використовуючи формулу додавання , одержимо
Р(6,1) + Р(6,2) = 0,27.
Другий спосіб. Перейдемо до протилежної події - серед обраних виробів немає бракованих. Ймовірність цієї події обчислена в п.2) і дорівнює 0,73. Тоді шукана ймовірність
Р(1 – 0,73 = 0,27.
- Лекція 9. Багатовимірні випадкові величини………………………………………………..26
- Деякі історичні відомості про виникнення і розвиток теорії ймовірностей.
- Випадкові події Стохастичний експеримент, простір елементарних наслідків
- Умовні ймовірності. Незалежність подій.
- Формула повної ймовірності.
- Послідовність незалежних випробувань. Формула Бернуллі.
- Найімовірніше число появ події.
- Поняття випадкової величини.
- Приклади дискретних розподілів.
- 4. Розподіл Парето
- Центральні моменти.
- Лекція 9. Багатомірні випадкові величини
- Методи статистичного опису результатів спостережень.
- Числові характеристики вибіркового розподілу.
- Інтервальне оцінювання.
- Критерій і його застосування
- Список літератури