Умовні ймовірності. Незалежність подій.

Досить часто доводиться розглядати ймовірність події А за умови, що мала місце деяка інша подія В. Така ймовірність називається умовною й позначаються Р(А / В) .

Приклад. Кинуто дві гральні кістки. Чому дорівнює ймовірність того, що сума очок, що випали, дорівнює 8, якщо відомо , що ця сума є парним числом?

Нехай А - сума очок, що випали, дорівнює 8,

В - сума очок, що випали, парне число.

Знайдемо спочатку ймовірність Р(А) за класичним означенням. Число всіх можливих наслідків експерименту n=66=36, а сума очок, рівна 8, випаде в наступних комбінаціях: (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2). У такий спосіб m=5 і Р(А) = .

Тепер обчислимо ймовірність події А за умови, що наступила подія В. У цьому випадку можливі наслідки експерименту становлять комбінації, за яких сума очок, що випали, - парне число, таких комбінацій - 18, тому m = 5, n = 18, а умовна ймовірність Р(А / В) =.

Дві події А и В називаються незалежними , якщо настання одного з них не впливає на ймовірність настання іншого, іншими словами, якщо умовна ймовірність дорівнює безумовної , Р(А / В) = Р(А). У противному випадку події вважають залежними. Так, у наведеному вище прикладі, події А і В є залежними.

Події А,А, … , Аназиваютьсянезалежними у сукупності , якщо для будь-якого Аз їх числа й будь-якої підмножини даної сукупності , що не змістить події А, подія Аі добуток подій з підмножини взаємно незалежні.

Розглянемо приклад. Тетраедр , три грані якого пофарбовані відповідно в червоний , зелений і синій кольори, а четверта грань містить всі три кольори, кидається навмання на площину. Події А, В, С полягають у тому , що тетраедр упав на грань, що містить відповідно червоний, зелений або синій кольори.

Безумовні ймовірності Р(А) = Р(В) = Р(С) = ,

умовні ймовірності Р(А/В) = Р(А/С) = Р(В/С) = Р(С/А) = Р(В/А) =.

Отже попарно події незалежні, однак Р(А/ВС) = 1, а це свідчить про те що в сукупності події залежні.

Розглянемо формули, які використовуються для обчислення ймовірностей складних подій. Складною подією називається спостережувана подія, виражена через інші спостережувані у тому же експерименті події за допомогою допустимих алгебраїчних операцій.

Формула додавання. Для довільних подій А и В справедливе співвідношення

Р(А+В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ)

Для довільного скінченного числа подій формула додавання має вигляд:

Р(А+А+…+А)=Р(А)+Р(А)+…+Р(А)-Р(АА)-Р(АА)-…- Р(АА)+Р(ААА)+Р(ААА)+…+Р(ААА)-… (-1)Р(АА…А).

Для неспільних подій імовірність суми подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій, тобто

Р(А+А+…+А)= Р(А)+Р(А)+ … +Р(А)

Формула множення. Для довільних подій А і В

Р(АВ) = Р(А) Р(B/A)=P(B)P(A/B.

Формула справедлива, якщо Р(А) > 0, P(B) > 0, і дозволяє обчислювати ймовірність здійснення обох подій А и В у тих випадках, коли умовна ймовірність вважається відомою або визначається методом допоміжного експерименту.

Для довільного скінченного числа подій формула множення має вигляд:

Р(АА…А)=Р(А)Р(А/А)Р(А/АА)Р(А/ААА)…Р(А/АА…А).

Для незалежних у сукупності подій імовірність добутку подій дорівнює добутку їхніх імовірностей, тобто

Р(АА…А)= Р(АА…А).

Приклад 4. В умовах експерименту, розглянутого в прикладі 3 знайти ймовірності того, що серед обраних виробів виявиться :

а) не більше одного бракованого;

б) хоча б одне браковане.

Нехай подія А - серед обраних виробів не більше одного бракованого,

Розглянемо події: А- серед обраних виробів - жодного бракованого,

А- серед обраних виробів - один бракований.

Тоді А = А+ А, причому А, А- несумісні. За формулою додавання шукана ймовірність Р(А) =Р( А+ А) =Р(А) +Р(А),

Р(А) ===, Р(А) ===,

Р(А) =

Нехай подія В - серед обраних виробів хоча б один бракований.

Можна розв’язати цю задачу за допомогою формули додавання, але розв’язок розв’язок буде значно простіше, якщо перейти до протилежної події - серед обраних виробів немає бракованих.

= А, Р() = Р (А) =, Р(В) = 1 - Р() = 1 -=

Приклад 5. Визначити ймовірність того , що обраний навмання виріб є першосортним, якщо відомо, що 5% всієї продукції є браком, а 80% не бракованих виробів задовольняють вимогам 1-го сорту.

Позначимо А - обраний виріб є не бракованим,

В - обраний виріб задовольняє вимогам 1-го сорту,

тоді АВ - обраний виріб є першосортним , а шукана ймовірність

Р(АВ) = Р(А)Р(В/А) = ,

тут Р(А) = 1 - 0,05 = 0,95 , Р(В/А) = 0,8 .