1. 3. Математическая постановка задачи одновременного синтеза моделей системы и способов её использования

Такой подход к синтезу позволил формализовать закон сохранения целостности объекта, осуществить в модели взаимную трансформацию свойств объекта и свойств действия (изменения), сформировать формализованный принцип построения системы

Принцип системности. Для синтеза модели системы и способов ее использования, обладающей показателем ЭП I(Q), необходимо и достаточно задать множество Q R и функцию (...), удовлетворяющих условию (2.1.)

А само соотношение (2.1.) целесообразно назвать уравнением синтеза, в общем случае с двумя неизвестными Qи (...). Это уравнение формализует закон сохранения целостности. Новая трактовка проблемы синтеза системы порождает новыйкласс задач, решение которых и обеспечивает одновременный синтез модели и способов применения системы.

Задача А.Дано.Область из множества допустимых ПВСQR,множества допустимых состояний вектора возможностейVи вектора управленияU, некоторое положительное значение показателяI(Q)(требуемое значение показателя ЭП).

Требуется определитьфункцию(…), удовлетворяющую условию (2.1.).

Комментарий А.В данной задаче при известных

- логической последовательности команд,

- количестве преобразованных в памяти символов, реализующих ПС,

- множествах допустимых команд и ресурсов,

- множестве допустимых правил выполнения команд,

выбрать и обосновать требуемые команды и правила их выполнения, обеспечивающие требуемую производительность процессора.

Задача Б.Дано.Множество допустимых ПВСR,функция(…), некоторое положительное некоторое положительное значение показателяI(Q).

Требуется определить область из множества допустимых ПВСQ R, удовлетворяющую условию (2.1.)

Комментарий Б.В данной задаче при известных

- количестве преобразованных в памяти символов, реализующих ПС,

- требуемых команд и ресурсов,

- требуемых допустимых правил выполнения команд,

выбрать и обосновать логическую последовательность выполнения команд.

Задача В.Дано.Область из множества допустимых ПВСQ R, множества допустимых состояний вектора возможностейVи вектора управленияU,функция(…).

Требуется определить вектор возможностей v(r)V и вектор управления u(r)U удовлетворяющих условию(u(r),v(r),r)dr.

Комментарий В.В данной задаче при известных

- логической последовательности выполнения команд,

- множестве допустимых команд и ресурсов,

- множестве допустимых правилах выполнения команд,

выбрать и обосновать требуемые команды и правила их выполнения, минимизирующие количество потребных преобразованных символов в памяти.

Задача Г.Дано. Множество допустимых ПВСR, функция(…), вектора возможностейv(r)V и управленияu(r) U.

Требуется определить область из множества допустимых ПВС Q R,

удовлетворяющую условию (u(r),v(r),r)dr.

Комментарий Г.В данной задаче при известных

- логической последовательности выполнения команд,

- множестве допустимых команд и ресурсов,

- множестве допустимых правилах выполнения команд,

выбрать и обосновать логическую последовательность команд, минимизирующих количество потребных преобразованных символов в памяти.

Такой подход к синтезу позволил конструктивно определить, что должны содержать и давать исследователю методология, методы и технологиямоделирования системы.

Методология должна содержать условия, определяющие свойства множества требуемых ПВС системыQ.

Методыдолжны содержать условия, определяющие переход из одного состояние в другое на множестве требуемых ПВС системыQ.

Технологиядолжна содержать условия реализации переходов из одного состояние в другое на множестве требуемых ПВС системыQ

Обычно система имеет определенный количественный состав, распределенный в пространстве с соответствующими зонами воздействия (влияния). Поэтому при непрерывном изменении времени условие (2.1.) будет задаваться в условиях формирования структуры системы и распределения функций между ее элементами при ограниченном количественном составе системы следующим образом. (Множество G)

1. X X; 2.XX= 0, 3.X=X,J = [1, N×M×H];

X- требуемые пространственные состояния i - го элемента системы;

4. (u(t), v(t), t)×Xdt = I(t),

где N, M, H- характеризуют количественный состав системы (объекта) не нарушая общности изложения для трёхмерного пространства;

I(t)-показатель требуемой потенциальной эффективности применения разрабатываемой системы;[t,t] =Т.X-ijf–ая область трёхмерного пространства. В области компьютерных технологий для случае одного процессора и линейной организации памяти это уже буде область одномерного пространства (с одним индексом).

В каждой из N×M×Hточек областями воздействия (влияния, взаимодействия) перекрывают соответствующие фрагменты контролируемого пространства. Один индекс характеризует распределение элементов по высоте (по слоям), а два других – распределение в каждом слое. ППЭ является производительностью системы, распределенной в пространстве. Поэтому необходимо установить зависимость производительности системы от ее ПВС, возможностей и управлений системы.

Для решения сформулированных задач, в первую очередь, необходимо установить факт существование интеграла (2.1.). Для этого подынтегральная функция - ППЭ должна быть ограниченной и иметь конечное число точек разрыва на множестве Q. Практическое рассмотрение свойств ППЭ позволило установить факт удовлетворения условиям ограниченности и кусочно - непрерывности на множестве определения.

Важная особенность задач моделирования сложных систем заключается в исследовании явления, зависящего от большого числа разнородных факторов. Каждый из этих факторов должен быть соответствующим образом отражен в уравнениях, описывающих процесс. Поэтому получаются зависимости, содержащие большое количество величин различной физической природы. В нашем случае это могут быть соотношения описывающие команды, ресурсы правила их реализации.

Простые физические идеи, составляющие содержание общих физических законов, предстают перед нами в форме чрезвычайно сложных уравнений потому, что простота исходных представлений неизбежно теряется при переходе к первоначальным величинам, в которых должны быть составлены основные уравнения задачи. Простые по своему физическому смыслу связи между первоначальными величинами можно установить только в самых элементарных случаях. В нашем случае это весьма затруднительно. Поэтому на основе разработанной методологии определяются свойства множества требуемых состояний системы и условия перехода из одного состояния в другое. На множестве этих состояний и условий перехода получаются соотношения модели системы и модели её применения. Полученные соотношения содержат определенный объём знаний о зависимостях между интересующими нас переменными. Но выражены эти знания в такой форме, что закономерности между переменными и производительностью системы в явном виде установить невозможно.

Таким образом, трудности, перед которыми мы стоим, обусловлены стремлением выразить общие физические законы и основные положения методологии в первоначальных, исходных величинах. Естественно, возникает вопрос, является ли этот шаг неизбежным и нельзя ли, вообще отказавшись от перехода к первоначальным величинам, исследовать задачу в тех переменных, которые соответствуют природе изучаемого процесса и непосредственно определяют эффекты, подлежащие рассмотрению. Систему уравнений, реализующую базовые зависимости достижения результатов использования системы от параметров движения, характеристик отдельных подсистем, ресурсов, количественного состава можно представить следующим образом:

A(u( r),v( r)) = A(u( r),v( r)), (3.1.)

где A(...) и B(...) операторы, отображающие множества пространственно-временных состояний системы, характеристики подсистем, команд, ресурсов, количественного состава на числовое множество и определяющие эффект, существенный для исследуемого процесса. Данная система уравнений формируется на основе базовых зависимостей достижения результата в процессе функционирования и естественнонаучных законов предметной области. Преобразуем систему (3.1.) к виду

A(u(r),v(r)) / B(u(r),v(r)) = K,l=l(l)G,

где K- безразмерные коэффициенты (коэффициенты гомогенности).

Если K= 1, то обеспечивается требуемое размещение элементов системы (в том числе логической последовательности команд) и, соответственно, требуемое распределение производительности системы (в том числе ПС) в пространстве. При таком рассмотрении процесса уравнение синтеза облика системы и способов ее применения преобразуется к виду: K(t', t)(t)dt = I(t'), (3.2.)

где (t) - производительность ijf - го элемента системы в соответствующей области пространства t'[t,t].=Т. Если определитьK(t', t)=K(t', t),то уравнение (3.2.) преобразуется к системеN x M х Hинтегральных уравнений следующего вида

K(t', t)(t)dt =I(t') с ограничениемI=I, (3.3.)

Уравнение(3.3.) есть интегральное уравнение Фредгольма 1-го рода с ядром K(t', t). Это уравнение в общем случае не имеет решения. Из теоремы Пикара [5] следует, что если ядро и правая часть есть непрерывные функции, то в классе непрерывных функций интегральное уравнение может не иметь решения. В нашем случае, ядро K(t', t) есть (должно быть) функция K(t', t) =Тогда интегральное уравнение (3.3.) имеет решение, если правая часть абсолютно непрерывна, ее производная принадлежит пространству функций с интегрируемым квадратом [7]. Что касается корректности задачи, то исследования показали, что ограниченные изменения меры гомогенности системы - ядра интегрального уравнения - приводят к ограниченным изменениям решения. Уравнение Фредгольма 1- го рода описывает процесс для t'[ t,t] =Т. То есть для параметров движения объекта, характеристик состояний агрегатов и подсистем соотнесенных с состояниями, фиксированными в промежуточной точке временного интервала. В соответствии с целью работы необходимо рассматривать состояния соотнесенные с конечным моментом времени. Поэтому конкретизация уравнения синтеза облика системы рассмотрена для интегрального уравнения Вольтерра 1-го рода (3.3.). Уравнение Вольтерра 1-го рода всегда можно свести к уравнению Вольтерра 2-го рода

(t)+{[K(t,t)]}/{[K(t,t)]}(t)dt == {[I]/[K(t,t)]}, (3.4.)

где элемент вторая, а элемент первая производная ядра при t = t. А если ядро интегрального уравнения (3.4.) в области определения имеет лишь конечное количество точек разрыва с одной и той же абсциссой t или с одной и той же ординатой t, ядро принимает нулевые значения при t > t, свободный член - непрерывная функция, то существует непрерывное и притом единственное решение уравнения (3.4.). Если ядро и свободный член интегрального уравнения квадратично - суммируемы, то существует, при том единственное, квадратично - суммируемое решение этого интегрального уравнения. [5].Это свойство позволяет рассматривать в работе вопросы построения модели системы (в том числе и ПС), как формирование комплекса мероприятий по обеспечению требуемой производительности системы, распределенной в пространстве и времени, с позиций теорий интегральных уравнения и вариационного исчисления.