Теорема размерности.

1. Пусть вектор параллелен вектору₁, тогда существует xR такое, что =x₁.

2. Пусть векторы лежат в плоскости П и ₁ не параллелен ₂. Тогда всякий вектор П есть линейная комбинация векторов ₁ и ₂:

= х ₁ +у₂.

3. Пусть векторы ₁, ₂ и ₃ не лежат в одной плоскости. Тогда всякий вектор есть их линейная комбинация:

= x₁ + y₂ + z₃

Доказательство проведем только для случая 2.

Выберем произвольную точку О на плоскости П и отложим из нее векторы _{1, 2} и . На направления О₁ и О₂ отложим направленные проекции вектора , рис. 6, обозначив их, соответственно, х₂ и у₂. Тогда получим требуемое равенство =х ₁ +у₂. Случай 2 доказан. Случай 1 - тривиален, а случай 3 доказывается аналогично с построением параллелепипеда.

Будем говорить, что векторы ₁ и ₁, рис. 6, образуют векторный базис на плоскости векторов, а числа х и у назовем координатами вектора в этом базисе. Аналогично можно определить базис на прямой и в пространстве, используя случаи 1 и 3 рассмотренной теоремы.

Таким образом, каждый вектор имеет свои координаты в заданном базисе и, наоборот, всякая тройка чисел (x,y,z) (в заданном порядке) определяет единственный вектор в этом базисе.