3.2. Сліди площини

Рис. 3.3 Слід площини – це лінія перетину заданої площини з площиною проекцій (рис. 3.6).

∑п₁ – горизонтальний.

∑п₂ – фронтальний.

∑п₃ – профільний сліди площин.

Рис. 3.4 ∑x, ∑y, ∑z – точки сходу слідів.

3.3. Положення площини відносно площин проекцій. Відносно площин проекцій будь-яка площина може займати 7 положень.

1. Площина загального положення (рис. 3.6).

Розташована під довільними кутами нахилу до П₁, П₂, П₃. На площинному кресленні сліди цієї площини

Рис. 3.5 розташовані під довільними кутами нахилу до осей

Рис. 3.6

проекції (рис 3.6).

2. Площини рівня.

Паралельні до однієї з площин проекцій і одночасно перпендикулярні до двох інших.

Горизонтальна площина рівня – паралельна до П₁ (рис. 3.7).

1. Θ_П2║х.

───── Рис. 3.7

2. Θ║ П₁;

А₂, В₂, С₂ є Θ;

А₁, В₁, С₁ – НВ.

Рис. 3.8

Фронтальна площина рівня – паралельна до П₂.

∑п₁║х;

─────

∑║П₁ (рис. 3.8).

Профільна площина рівня – паралельна до П₃.

1. Гп₂║z;

Гп₂┴х.

2. Гп₁║у;

Гп₁┴х.

─────

Г║П₃ (Рис. 3.9). Рис. 3.9

Проекції будь-якого геометричного образу, який належить площині рівня, на одній площині проекцій будуть розташовані на сліді площини (А₂В₂С₂_П2), а на іншу площину геометричний образ проекцюється в натуральну величину (рис. 3.7).

3. Проекцюючі площини (перпендикулярні до однієї з площин проекцій і непаралельні до інших).

Горизонтально-проекцююча площина - перпендикулярна до П₁ (рис. 3.10).

1. ∆_П2┴х;

─────

∆┴ П₁.

2. ∆АВС є ∆.

3. ∆А₁В₁С₁ є ∆_П1.

Рис. 3.10

Якщо в проекціюючій площині розташовано будь-який геометричний образ, то його проекція завжди буде належати сліду площини на тій площині проекцій, до якої перпендикулярна задана площина. Ця властивість сліду називається збиральною.

Рис. 3.11 Рис. 3.12

Фронтально-проекцююча площина - перпендикулярна до П₂ (рис. 3.11).

∑п₁┴х

─────.

∑┴П₂

Профільно-проекцююча площина - перпендикулярна до П₃ (рис. 3.12).

1. Гп₂║х;

Гп₂┴z.

2. Гп₁║х;

Гп₁┴у;

─────

Г┴П₃.

3.4. Головні лінії площини. До головних ліній площини відносять фронталь, горизонталь та лінію найбільшого схилу площини.

Фронталь – пряма, що належить площині і паралельна до П₂:

F є Г.

Побудову фронталі починаємо на тій площині проекцій, на якій відоме її положення відносно вісі х.

1. f1║x;

f1×Гп1=11.

2. 1₂ є х.

3. f₂║Гп₂;

─────

Рис. 3.13 f є Г (рис. 3.13).

Горизонталь – це пряма, що належить площині і паралельна до П₁: h₂║x.

1. h₂×∆п2=12.

2. 11 є х.

3. h₁║∆п1;

─────

h є ∆ (рис. 3.14).

Фронталь та горизонталь площини широко

Рис. 3.14 використовують при розв’язанні задач з визначення відсутніх проекцій точок, що належать до площини.

Лінія найбільшого схилу – це пряма, що належить площині і перпендикулярна до горизонталі площини.

Приклад. Побудувати лінію найбільшого схилу через вершину В.

1. h₂║x.

2. h₂×B₂C₂=1₂.

3. 1₁ є B₁C₁.

4. A₁1₁ – h₁.

5. l₁┴h₁.

6. l₁×A₁C₁=2₁.

7. 2₂ є A₂C₂.

8. B₂2₂ – l₂ (рис. 3.15).

3.5. Належність прямої та точки площині. Пряма належить площині, якщо:

1) вона проходить через дві точки цієї площини;

2) через одну точку площини і паралельна до Рис. 3.15

іншої прямої площини або до однієї з площин проекцій.

Приклад. В площині ∑ побудувати АВ.

1.А₂ є ∑п₂;

А₁ є х.

2.В₁ є ∑п₁;

В₂ є х.

3.С₁ є А₁В₁;

С₂ є А₂В₂.

─────

Рис. 3.16 С є ∑ (рис. 3.16).

Звідси виходить нова умова належності прямої площині:

пряма належить площині, якщо її сліди розташовані на відповідних слідах цієї площини.

Точка належить площині, якщо вона належить прямій цієї площини.

Розв’язання задач складається з двох етапів:

1. будують пряму, яка належить площині (рис.3.16);

2. на прямій АВ будують точку С, яка і буде належати площині.

3.6. Паралельність прямої та площини. Пряма паралельна до площини, якщо вона паралельна до будь-якої прямої цієї площини. Для рішення задачі необхідно:

1. в площині побудувати пряму загального положення;

2. виходячи з умов паралельності двох прямих, побудувати необхідну пряму.

Приклад 1. Через т. А побудувати l║∑, l є A.

m є ∑.

1. l₂║m₂.

2. l₁║m₁;

──────

Рис. 3.17 l║∑ (рис. 3.17).

Приклад 2. Через т. А побудувати площину ∆, паралельно l.

1. a₂ є А₂;

а₂║l₂;

a₁ є А₁;

а₁║l₁.

2. b₂ є А₂;

b₁ є А₁;

──────

Рис. 3.18 ∆ (a×b)║l (рис. 3.18).

Приклад 3. Перевірити паралельність прямої l до Г.

n₂║l₂

1. n₂×m₂=1₂.

2. 1₁ є m₁.

3. n₁╫l₁;

──────

l╫Г(A, m) (рис. 3.19).

Конкретне розв’язання кожної геометричної задачі залежить від положення проекцій геометричних

Рис. 3.19 образів.

3.7. Паралельність двох площин. Дві площини паралельні, якщо дві пересічні прямі однієї площини паралельні двом пересічним прямим іншої площини. Якщо площини задані слідами, то у паралельних площин мають бути паралельними сліди.

Приклад 1. Через т. А побудувати ∑║∆, ∑ є А:

∆(l×m).

1. a₂║l₂, a₂ є A₂.

2. b₂║m₂, b₂ є A₂.

3. a₁║l₁, a₁ є A₁.

4. b₁║m₁, b₁ є A₁.

─────────

∑(a×b) ║∆(l×m) (рис. 3.20).

Приклад 2. Через т. А

Рис. 3.20 побудувати Г ║Θ, Г є А.

План розв’язання:

1. через т. А будують пряму рівня паралельно Θ;

2. будують слід цієї прямої:

1. h є А.

2. h║Θ.

3. F₁F₂×h₂=F.

4. Гп₂ є F;

Гп₂║Θп₂.

5.Гп₁║h║Θп₁.

────────────

Рис. 3.21 Г║Θ (рис. 3.21).

3.8. Перпендикулярність прямої та площини. Пряма перпендикулярна до площини, якщо вона перпендикулярна до двох пересічних прямих цієї площини. За пересічні прямі необхідно використати фронталь та горизонталь, тоді l₂┴f₂, a l₁┴h₁.

Приклад. Через т. А побудувати l┴∑(∆ABC).

1. h є АВС.

2. f є АВС.

3. l₁┴h₁;

l₁ є А₁.

4. l₂┴f₂;

l₂ є A₂.

─────

l┴∑(∆ABC) (рис. 3.22).

Рис. 3.22

3.9. Перпендикулярність двох площин. Дві площини взаємо перпендикулярні, якщо одна з них має перпендикуляр до другої площини. Розв’язок задачі складається з двох етапів:

1. будують пряму, перпендикулярну до заданої площини;

2. до прямої перпендикуляру добудовують іншу пряму довільного положення; дві пересічні прямі і сформують площину, перпендикулярну до заданої.

Приклад. Побудувати ∆┴∑, ∆ є А.

1. l₂ є А₂;

l₂┴∑п₂.

2. l₁ є А₁;

l₁┴∑п₁.

3. m₂ є A₂;

m₁ є A₁.

─────────

∆(m×l) ┴∑ (рис. 3.23).

Рис. 3.23

3.10. Перпендикулярність двох прямих загального положення. Дві прямі загального положення взаємо перпендикулярні, якщо одна з них належить площині, перпендикулярній до іншої прямої.

Приклад. Через т. А побудувати l┴m.

План розв’язання:

1) через т. А будуємо Г є А, Г┴m, площину Г задають пересічними f та h, при цьому:

1. f₂┴m₂;

2. h₁┴m₁,

h₂║x║f₁.

2) будуємо точку перетину прямої m і Г, для цього пряму заключають у допоміжну горизонтально-проекцюючу площину, будують точки перетину.

1. m є ∑;

∑┴П₁.

2. ∑┴Г=1,2.

3. 1₁2₁.

4. 1₂ є h₂;

2₂ є f₂.

5. 1₂2₂×m₂=K₂;

K₁ є m₁.

6. A₂K₂ – l₂;

A₁K₁ – l₁;

────────

l┴m (рис. 3.24).

3.11. Взаємний перетин двох площин. Результатом перетину двох площин є пряма лінія. Для побудування її проекцій необхідно визначити дві точки, які одночасно належать двом площинам.

Розв’язок кожної конкретної задачі залежить від графічних умов, якими задають площини на кресленні. Рис. 3.24

В більшості випадків необхідно використовувати допоміжні площини окремого положення, що значно спрощує розв’язання задач.

Приклад 1. Побудувати лінію перетину двох площин Г×∆=KL.

Оскільки ∆┴П₁, горизонтальний слід цієї прямої має збиральні властивості.

Горизонтальна проекція прямої буде розташована на ∆П₁.

1. ∆П₁×А₁В₁=1₁;

∆П₁×А₁С₁=2₁.

2. 1₂ є А₂В₂;

2₂ є А₂С₂.

──────────

Г×∆=1,2 (рис. 3.25).

Приклад 2. Побудувати лінію перетину площин загального положення, які задані плоскими геометричними фігурами.

Для розв’язання цієї задачі необхідно використати допоміжні проекцюючі

Рис. 3.25 площини.

1. AB є ∆; ∆┴П₂;

∆₂×D₂F₂=1₂;

∆₂×D₂E₂=2₂;

1₁ є D₁F₁;

2₁ є D₁E₁;

1₁2₁×A₁B₁=K₁;

K₂ є A₂B₂.

2. AC є ∆’; ∆’┴П₂;

∆’₂ ×D₂F₂=3₂;

∆’₂ ×D₂E₂=4₂;

3₁ є D₁F₁;

4₁ є D₁E₁;

3₁4₁×A₁C₁=L₁;

L₂ є A₂C₂;

3. K₁L₁; K₂L₂ (рис. 3.26).

Рис. 3.26

Лінія перетину двох площин ділить кожну площину на 2 частини – видиму і невидиму.

Для визначення елементів видимості пересічних площин необхідно використати розв’язок аналогічної задачі для мимобіжних прямих.

Якщо пересічні площини задані слідами, то лінію перетину будують у наступній послідовності:

1. позначають точки перетину одноіменних слідів;

2. будують відсутні проекції цих точок, які завжди будуть розташовані на вісі Х;

3. з’єднують одноіменні проекції точок.

Приклад. Побудувати лінію перетину двох площин ∆ і Г.

∆ × Г=KL.

Площини ∆ і Г – площини загального положення, а тому і лінія їх перетину – пряма загального положення.

Розв’язання задачі виконують

Рис. 3.27 відповідно до загального алгоритму.

1. ∆П₂ × Г_п2=K₂;

∆П₁ × Г_п1=L₁.

2. K₁, L₁ є Х.

3. K₂L₂; K₁L₁ (рис. 3.27).

Якщо одна з площин займає окреме положення, то побудова лінії перетину має певні особливості.

Приклад 1. Побудувати лінію перетину двох площин ∑×∆=KL

∆┴П₁, тому горизонтальна проекція лінії перетину K₁L₁ буде належати ∆_П1.

1. ∑_П2×∆_П2=K₂;

∑_П1×∆_П1=L₁.

2. K₁L₁ є ∆_П1.

3. L₂ є x; K₂L₂ (рис. 3.28).

Рис. 3.28

Приклад 2. Побудувати лінію перетину двох площин Г×Θ.

1. Θ║П₁, Θ┴П₂, а тому на П₂ l є Θ₂.

2. Г_П2×l₂=1₂.

3. l₁║Г_П1 (рис. 3.29).

3.12. Перетин прямої та площини. Результатом перетину прямої та площини є точка.

Для побудови її проекцій необхідно:

1. пряму заключити у допоміжну площину (проекцюючу або рівня);

2. побудувати лінію перетину прямої та заданої площин;

3. позначити точку перетину лінії перетину двох площин та заданої прямої.

Рис. 3.29Приклад. Побудувати точку перетину прямої та площини.

1. l є ∑; ∑┴П₂.

2. ∑₂×Г(ABC)=1,2;

∑₂×A₂C₂=1₂;

∑₂×B₂C₂=2₂.

3. 1₁ є A₁C₁;

2₁ є B₁C₁.

4. 1₁2₁×l₁=K₁.

5. K₂ є l₂ (рис. 3.30).

Рис. 3.30