1.1.1.1. Функція Ляпунова і теорема Ляпунова

Розглянемо динамічну систему, що описується набором диференціальних рівнянь вигляду:

, (1.1.1)

Нехай при виконано умову

. (1.1.2)

Тоді точка є точкою рівноваги для аналізованої динамічної системи.

Нехай при система характеризується станом . Чи буде ця система з часом еволюціонувати до точки рівноваги ? Іншими словами, чи буде точка атрактором?

Щоб відповісти на це питання, введемо деяку функцію , таку, що вона є позитивною при всіх і перетворюється в нуль у точці . Називатимемо її функцією Ляпунова.

Розглянемо, як функція Ляпунова змінюється з часом:

. (1.1.3)

Теорема Ляпунова стверджує, що точка є атрактором, якщо похідна має знак, протилежний знаку (в нашому випадку ).

Щоб пояснити зміст теореми Ляпунова, розглянемо візок, що рухається в одновимірній потенціальній ямі. Достатньою умовою того, щоб візок опинився саме в мінімумі потенціалу, є вимога, щоб із часом його потенціальна енергія монотонно зменшувалася. Теорему Ляпунова можна розглядати як узагальнення цього твердження на випадок, коли потенціал є функцією багатьох координат (або інших змінних, аналогічних до координат). Аналогом потенціалу виступає функція Ляпунова.

Підкреслимо, що теорема Ляпунова дає достатню, але не необхідну умову переходу системи до стану стійкої рівноваги. Крім того, вона не дає рецепту побудови функції Ляпунова, що ускладнює її застосування. Але у випадках, коли таку функцію вдається вгадати, теорема Ляпунова виявляється зручним інструментом дослідження стану рівноваги.

1.1.1.2. Приклад застосування теореми Ляпунова

Проілюструємо застосування теореми Ляпунова на прикладі задачі про теплопровідність, описуваної рівнянням Фур’є⁸:

, (1.1.4)

де  температура,  коефіцієнт температуропровідності.

Розглядатимемо проміжок з граничними умовами (температура на кінцях проміжку підтримується незмінною). Функцію Ляпунова оберемо у вигляді:

. (1.1.5)

Тоді з урахуванням рівняння (1.1.4)

. (1.1.6)

Інтегруючи по частинах, отримаємо:

. (1.1.7)

З рівняння Фур’є (1.1.4) випливає, що . Але на кінцях відрізка і, відповідно, . Тому в цих точках , тобто перший доданок у правій частині (1.1.7) зникає, і

. (1.1.8)

Отже, стан є атрактором.

Відзначимо, що в розібраному прикладі теорема Ляпунова застосована не для динамічної системи вигляду (1.1.1), яка має скінчену кількість змінних, а для системи з розподіленими параметрами, де кількість змінних складає континуум.