№12. Произведение и частное комплексного числа

• Умножение

• Деление

№13. Модуль и аргумент комплексного числа. Геом. Смысл.

Модулем (абсолютной величиной) комплексного числа называется длина радиус-вектора соответствующей точки комплексной плоскости (или, что то же, расстояние между точкой комплексной плоскости, соответствующей этому числу, и началом координат).

Модуль комплексного числа  обозначается  и определяется выражением . Часто обозначается буквами  или . Если  является вещественным числом, то  совпадает с абсолютной величиной этого вещественного числа.

Для любых  имеют место следующие свойства модуля. :

1) , причём  тогда и только тогда, когда ;;

2)  (неравенство треугольника);

3) ;

4) .

Из третьего свойства следует , где . Данное свойство модуля вместе с первыми двумя свойствами вводят на множестве комплексных чисел структуру двумерного нормированного пространства над полем .

5) Для пары комплексных чисел  и  модуль их разности  равен расстоянию между соответствующими точками комплексной плоскости.

Угол  (в радианах) радиус-вектора точки, соответствующей числу , называется аргументом числа  и обозначается .

Из этого определения следует, что ; ; .

Для комплексного нуля значение аргумента не определено, для ненулевого числа  аргумент определяется с точностью до , где  — любое целое число.

Главным значением аргумента называется такое значение , что . Часто главное значение обозначается ^[4]. Главное значение аргумента обратного числа отличается знаком от аргумента исходного: .