4.2.3. Конечно-разностная аппроксимация для граничных узлов

Рассматриваемый метод позволяет решать задачи для неоднородных сред и со сложной геометрией области. В частности, узлы сетки могут располагаться на границе раздела сред, на краях, в различных углах и т.д. (например, рис. 4.4). Конечно-разностные уравнения для таких узлов отличаются от внутренних.

Узлы на границе раздела сред встречаются при исследовании полосковых и микрополосковых линий передачи, частично заполненных волноводов и т.д. На рис. 4.4а показана граница раздела двух сред с параметрами и . Получим конечно-разностное уравнение для центрального узла с потенциалом . Полагая, что на границе отсутствуют электрические заряды, воспользуемся уравнением (2.2г) в Теме II, применив его к пунктирной ячейке (задача двумерная) на рис. 4.4а, ограниченной контуром C

, (4.24)

– нормаль к контуру C; при этом мы воспользовались формулой (4.2): . Формулу (4.24) можно переписать в виде

. (4.25)

Поток (4.25) вычисляется по четырём участкам. Потоки и соответственно равны

. (4.26)

Аналогично потоки и соответственно равны

. (4.27)

Рис. 4.4. Конечно-разностная аппроксимация для граничных узлов.

Соответственно полный поток (4.25) равен

. (4.28)

Перепишем (4.28) в форме основного разностного уравнения

. (4.29)

Уравнение (4.39) является основным уравнением центрально-разностной аппроксимации при наличии узлов, расположенных на границе раздела сред. При уравнение (4.29) переходит для уравнения Лапласа в (4.22). Заметим, что запись (4.39) очевидным образом следует из (4.22), если брать среднее значение диэлектрических проницаемостей сред для узлов , расположенных на границе раздела.