Типовые задачи, используемые при формировании вариантов текущего контроля

Домашнее задание №1 «Элементарные функции и их графики»

Задача 1. Найти область определения функции .

Задача 2. Исследовать функцию на четность (нечетность).

Задача 3. Используя элементарные преобразования, построить эскизы графиков следующих функций:

а) , б), в) , г) , д) .

Задача 4. Построить эскиз графика рациональной функции , исследуя его расположение относительно оси абсцисс и асимптот.

Задача 5. Используя правила построения графика суммы, произведения, частного или композиции двух функций, построить эскиз графика функции .

Домашнее задание №2 «Пределы и непрерывность»

Задача 1. Для заданной последовательности и числа доказать, что , определив для каждого число , такое, что для всех . Заполнить таблицу:

Задача 2. Вычислить следующие пределы:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .

Задача 3.

1) Показать, что данные функции f и g являются бесконечно малыми или бесконечно большими при указанном стремлении аргумента.

2) Для каждой функции f и g записать главную часть (эквивалентную ей функцию) вида при , или при , указать их порядки малости (роста).

3) Сравнить f и g при , если , .

Задача 4. Найти точки разрыва функции и определить их характер. Построить фрагменты графика функции в окрестности каждой точки разрыва:

Домашнее задание №3 «Исследование функций и построение графиков»

Задача 1. Исследовать заданные функции и построить их графики:

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Задача 2. Разложить функцию по формуле Маклорена 3-го порядка с остаточным членом в форме Пеано.

Задача 3. Из всех равнобедренных треугольников с заданным периметром найти тот, у которого площадь максимальна.

Контрольная работа «Техника дифференцирования»

Задача 1. Для заданных функций найти .

1. . 2. . 3. .

4. . 5. . 6.

Задача 2. Найти производную функции , заданной параметрически:

Задача 3. Найти производные , в точке функции , заданной неявно уравнением .

Задача 4. Составить уравнение касательной и нормали к кривой , в точке . Сделать чертеж.

Задача 5. Вывести, исходя из определения, производную функции .

Замечание: возможно включение теоретических вопросов.

Контроль по модулю №1

Задача 1. Числовая последовательность. Предел последовательности; сходящиеся и расходящиеся последовательности. Доказать теорему о единственности предела сходящейся последовательности.

Задача 2. Сформулировать определение по Коши для предела . Привести соответствующий пример (с геометрической иллюстрацией).

Задача 3. Вычислить пределы:

1) , 2) , 3) , 4) .

Задача 4. Выясните, является ли функция бесконечно малой при . Если да, найдите значения C и k, для которых при эквивалентна функции .

Задача 5. Найти точки разрыва функции , исследовать их характер, построить график функции в их окрестности.

Контроль по модулю №2

Задача 1. Сформулировать определение дифференцируемости функции в точке. Доказать теорему о связи дифференцируемости функции с существованием конечной производной.

Задача 2. Исследовать функцию и построить ее график.

Задача 3. По графику производной построить график функции (представлен график производной в виде кусочно-линейной функции).

Задача 4. Вычислите предел , используя правило Лопиталя-Бернулли.

Задача 5. Разложите функцию по формуле Тейлора 3-го порядка в окрестности точки . Записать остаточный член в форме а) Пеано, б) Лагранжа.

Задача 6. С помощью формулы Маклорена найти .