matlab_final

Задания

Задание 4.4

Вычислить методом конечных разностей и нарисовать распределение скалярного потенциала электростатического поля u между двумя бесконечными плоскостями при заданных значениях на них. Электрические заряды в пространстве между указанными поверхностями отсутствуют. Сравнить с аналитическим решением.

a. =0 В, =3 В, шаг дискретизации по оси x = 0.25 м;

б. =0 В, =3, шаг дискретизации по оси x = 0.2 м;

в. =0 В, =2 В, шаг дискретизации по оси x = 0.5 м;

г. =0 В, =2 В, шаг дискретизации по оси x = 0.25 м;

д. =0 В, =1 В, шаг дискретизации по оси x = 0.25 м;

е. =0 В, =1 В, шаг дискретизации по оси x = 0.2 м;

ж. =0 В, =4 В, шаг дискретизации по оси x = 0.25 м;

Решение (стр.204, пример 4.9)

Краевая задача формулируется как одномерная задача Дирихле (4.9), которая дискретизируется в форме ячеек, содержащих конечное число узлов (три в данном случае), так, что уравнение (4.22) может быть записано для любого узла анализируемой области как

. (1)

Поскольку , то, используя (1), ориентируясь на рис. 4.3 и выбрав шаг дискретизации для узлов , последовательно имеем представление

, (2)

которое удобно записать в виде системы относительно

(3)

представимая в следующей матричной форме

. (4)

Используя MATLAB, решаем (4), что с учётом граничных условий даёт , и строим распределение скалярного потенциала электростатического поля между поверхностями. Заметим, что матрица в (4) является разряженной с доминантной главной диагональю.

Далее по формуле (4.2) теорииможно найти и вектор напряжённости электростатического поля.

clear;

clf;

sz=3;

h=1/(sz+1);

x=0:h:1;

% Полученные матрицы для решения системы уравнений

a = [1, -0.5, 0;

0.5, -1, 0.5;

0, -0.5, 1];

b = [0, 0, 1.5]';

v = a \ b;

% По краям матрицы добавляем данные из граничных условий

v_final = [0, v', 3];

plot(x,v_final,'o-'); grid;

xlabel('x');

ylabel('V');

Задание 4.5

Найти методом конечных разностей и нарисовать распределение скалярного потенциала электростатического поля между двумя поверхностями, если . Электрические заряды в пространстве между указанными поверхностями распределены равномерно с плотностью . Сравнить с аналитическим решением.

a. =0, =3, шаг дискретизации по оси x = 0.25, ;

б. =0, =3, шаг дискретизации по оси x = 0.2, ;

в. =0, =2, шаг дискретизации по оси x = 0.5, ;

г. =0, =2, шаг дискретизации по оси x = 0.25, ;

д. =0, =1, шаг дискретизации по оси x = 0.25, ;

е. =0, =1, шаг дискретизации по оси x = 0.2, ;

ж. =0, =3, шаг дискретизации по оси x = 0.25, ;

з. =0, =3, шаг дискретизации по оси x = 0.2, ;

и. =0, =2, шаг дискретизации по оси x = 0.5, ;

к. =0, =2, шаг дискретизации по оси x = 0.25, ;

л. =0, =1, шаг дискретизации по оси x = 0.25, ;

м. =0, =1, шаг дискретизации по оси x = 0.2, ;

Решение (стр.205, пример 4.10)

Краевая задача формулируется как одномерная неоднородная задача Дирихле (4.9), которая дискретизируется в форме ячеек, содержащих конечное число узлов (три в данном случае). Уравнение (4.23) может быть записано для любого узла анализируемой области как

. (1)

Используя (1), ориентируясь на рис. 4.3, выбрав шаг дискретизации для узлов при последовательно имеем представление

(2)

которое удобно записать в виде системы относительно

(3)

представимая в следующей матричной форме

. (4)

clear;

clf;

h=0.25;

x=0:h:1;

% Полученные матрицы для решения системы уравнений

a = [1, -0.5, 0;

-0.5, 1, -0.5;

0, -0.5, 1];

b = [-0.125, -0.125, 1.375]';

v = a \ b;

% По краям матрицы добавляем данные из граничных условий

v_final = [0, v', 3];

plot(x,v_final,'o-'); grid;

xlabel('x');

ylabel('V');

Задание 4.6

Найти методом конечных разностей вычислить и нарисовать распределение скалярного потенциала электростатического поля u между двумя бесконечными плоскостями при заданных значениях на них. Электрические заряды в пространстве между указанными поверхностями отсутствуют. Сравнить с аналитическим решением.

Вычислить методом конечных разностей и нарисовать распределение скалярного потенциала электростатического поля u в бесконечной металлической трубе (двумерная задача), изолированной на углах рис. 4.5. На поверхностях S1 и S2 заданы u_S₁ = 0 и u_S₂= V₀. Внутри трубы вводится прямоугольная сетка с шагом : 14 фиксированных узлов на поверхности и 9 свободных узлов внутри.

Использовать MATLAB для решения системы уравнений.

а. u_S₁ = 0 В, u_S₂ = V₀ = 1 В

б. u_S₁ = 0 В, u_S₂ = V₀ = 2 В

в. u_S₁ = 0 В, u_S₂ = V₀ = 3 В

г. u_S₁ = 0 В, u_S₂ = V₀ = 4 В

д. u_S₁ = 0 В, u_S₂ = V₀ = 5 В

е. u_S₁ = 0 В, u_S₂ = V₀ = 6 В

ж. u_S₁ = 0 В, u_S₂ = V₀ = 7 В

Рис. Геометрия задачи.

Решение

Внутри трубы вводится прямоугольная сетка с шагом : 14 фиксированных узлов на поверхности (потенциал их задан) и 9 свободных узлов внутри. Поскольку внутри трубы, то распределение потенциала находится из решения двумерной однородной задача Дирихле (4.9), и последующим использованием формулы (4.2) для нахождения электростатического поля. Используем разностную форму (4.23) для узлов и значений потенциала на границе в соответствии с рис. 4.3, 4.5 и учтём, что из-за симметрии области относительно оси y и . В результате получаем систему

(1)

которую можно представить в следующей матричной форме

. (2)

Решив (3) найдём соответствующие значения потенциалов , а по формуле (4.2) и вектор напряжённости электростатического поля. Заметим, что матрица в (2) является разряженной с доминантной главной диагональю.

clear;

a = [4, -1, -1, 0, 0, 0;

-2, 4, 0, -1, 0, 0;

-1, 0, 4, -1, -1, 0;

0, -1, -2, 4, 0, -1;

0, 0, -1, 0, 4, -1;

0, 0, 0, -1, -2, 4];

v = [1, 1, 0, 0, 0, 0]';

u = a \ v

Результат:

u =

0.4286

0.5268

0.1875

0.2500

0.0714

0.0982

Содержание