2. Кореляційний і регресійний аналіз

Якщо необхідно визначити залежність між двома або декількома признаками і встановити їх взаємний звязок використовують кореляції і регресії. Теорія кореляції вивчає взаємозвязок між величинами, які досліджуються. Діалектичний підхід до вивчення природи і суспільства вимагає розглядати явища у взємозвязку і в неперервному змінюванні. Теорія кореляції дозволяє виразити ці взаємозвки у кількісній формі.

Найбільш простим видом звязку між величинами є функціональна залежність, коли кожному значенню однієї величини відповідає одне конкретно визначене значення другої величини.

До функціональних звзків відноситься наприклад, залежність між обємом води W, часом t і використанням Q:

(4)

Якщо змінна величина у змінюється в залежності від іншої змінної х, але на зміну у впливає багато інших факторів, врахувати які інколи не в змозі, то тоді кожному значенню х відповідає декілька значень у. Такі звзки називаються кореляційними, або звязок між змінними величинами х і у називається кореляційним, якщо різним значенням однієї із них (х) відповідають групові середні другої (у) або навпаки. В таких випадках одна величина розглядається як незалежна змінна і називається аргументом (х), а друга - залежна змінна і називається функцією (у). Загальний вигляд рівняння кореляційного звязку y=f(x), де х - аргумент, у - функція.

При графічному зображенні статистичного звязку часто точки розміщують так, що можна провести ряд ліній різноманітного типу.

Після встановлення форми звязку і її типу визначають її тісноту. В якості числового показника звязку простої лінійної кореляції використовують коефіцієнт кореляції

(5)

де і - відхилення значень х і у від своїх середніх і в п порівнювальних парах.

Стандартну похибку коефіцієнта кореляції визначають з рівняння

(6)

r - коефіцієнт кореляції; п - число пар значень, за якими обчислений коефіцієнт кореляції. Значення коефіцієнта кореляції записується разом з його похибкою у вигляді . Критерій суттєвого коефіцієнта кореляції t обчислюють з рівняння

або (7)

Зіставлення фактичного і теоретичного (табличного) значень t при числі ступеню волі п-2 дає можливість оцінити суттєвість r при тому чи іншому рівню значущості.

Якщо , то кореляційний звязок існує, а якщо - не існує.

Поряд з коефіцієнтом кореляції для характеристики звязку між двома ознаками використовують коефіцієнт детермінації , який чисельно рівний квадрату коефіцієнта кореляції:

(8)

Коефіцієнт детермінації показує частину тих змін, які у залежності, яку вивчають обумовлені факторіальними ознаками і дають більш чітке уявлення про ступінь спряження ознак. Наприклад, якщо коефіцієнт кореляції рівний 0,20 - 0,30, то коефіцієнт детермінації тобто тільки 4-9% всіх вимірів однієї ознаки повязані із змінами другої. При число звязків збільшується до 25-30% і тільки при біля 97% зміна результативної ознаки повязано із змінами факторіального.

Кореляційне відношення обчислюється

(9)

де з - кореляційне відношення; S_v - сума квадратів відхилення за варіантами;

S_y - загальна сума квадратів.

Кореляційне відношення використовується для оцінки криволінійної форми звзку між ознаками і має додатній знак, змінюється від 0 до 1.

При малому числі спостережень кореляційне відношення обчислюється:

(10)

де - сума квадратів відхилень групових і середніх від загальної середньої (групове варіювання), яка характеризує ту частину варіювання ознаки , яка повязана з мінливістю ознаки .

- сума квадратів різниці між кожним значенням і загальною середньою , яка характеризує загальне варіювання ознаки .

Похибка і критерій істотного кореляційного відношення обчислюється за рівнянням:

; (11)

Фактичне значення порівнюють з теоретичним, який приймається для вибраного рівня значущості при числі ступенів волі з таблиці. Якщо , то кореляційне відношення суттєве.

Квадрат кореляційного відношення називають індексом детермінації:

(12)

Він показує ту долю варіювання ознаки , яка обумовлена змінами ознаки .

Обчисливши коефіцієнт кореляції можна отримати загальну уяву про спряження ознак які вивчаються.

Регресійний аналіз - наукове дослідження закономірностей між явищами, які залежать від багатьох факторів. Мета його - відшукати рівняння лінії, яка найбільш точно виражає залежність однієї ознаки від іншої. За формою регресія може бути прямолінійною і криволінійною, а за характером - простою, коли змінювання вислідної ознаки відбувається під зміною однієї факторіальної ознаки, і множинною, коли зміна обумовлена декількома факторіальними ознаками.

Регресивний аналіз дозволяє передбачити можливість зміни однієї ознаки на основі відомих змін другої шляхом розрахунку емпіричних формул, які показують, що звязок між ними існує.

При лінійній регресії залежність між ознаками виражається коефіцієнтом регресії, який показує в якому напрямку і на яку величину змінюється одна ознака при зміні другої на одиницю виміру.

Обчислюється коефіцієнт регресії за рівняннями:

; . (13)

Де - коефіцієнт кореляції;

і - середні квадратичні відхилення;

і вивчаються у рядах.

Коефіцієнти регресії мають знак коефіцієнта кореляції:

(14 )

Ця властивість використовується для перевірки чи правильно обчислений коефіцієнт регресії.

Похибку коефіцієнтів регресії обчислюють за рівнянням:

і . (15)

Критерій суттєвості коефіцієнта регресії дорівнює критерію суттєвості коефіцієнта кореляції, тобто:

(16)

Часто залежність між признаками, які вивчаються буває криволінійною, вона може мати різні форми і описується відповідними рівняннями. В цьому випадку, головна задача регресійного аналізу полягає в тому, щоб по характеру розпреділення точок на графіку підібрати аналітичну залежність, яка описує закономірність зміни ознак. Після того, Як аналітична залежність підібрана, необхідно математичними перетвореннями привести її до рівняння прямої лінії, тобто перетворити вихідні дані і обчислити значення параметрів, які входять в аналітичну залежність. Приведення криволінійної залежності до рівняння прямої лінії дозволяє використати прийоми регресійного аналізу.

Приклад.

Техніку приведення кореляційного і регресійного аналізу розглянемо на прикладі для невеликого числа спостережень () від змінної (). - вологість грунту; - наліплювання грунту.

1. Розрахунки зручно вести складаючи таку таблицю.

Розрахунки допоміжних величин для обчислення кореляції і регресії по .

Розвязання:

2. За даними таблиці обчислюємо шість допоміжних величин: ;

3. Обчислюється коефіцієнт кореляції, регресії і рівняння регресії:

коефіцієнт кореляції

коефіцієнт регресії і

Рівняння регресії

Таким чином шукана залежність має вигляд:

4. Визначається похибка і критерій значущості для коефіцієнта кореляції:

Похибка коефіцієнта кореляції

критерій значущості коефіцієнта кореляції

5. Фактичне значення порівнюється з теоретичним , яке приймається рівним: 8-9 ступенів волі (при - це 10-11 пар спостережень) - 2,3; для 10-14 ступенів волі - 2,2; для 15-24 ступенів волі - 2,1; для 25-100 ступенів волі - 2,0. Кореляція і регресія визначається суттєвою, якщо . В нашому прикладі , так як . Значить між вологістю грунту і її налипання є суттєвий прямий звязок.

6. За отриманим рівнянням регресії обчислюють теоретичне значення для крайніх величин (19,9 і 76,6, згідно таблиці)

;

Знайдені точки ( і ) наносяться на графіці, зєднуючи їх прямою, маємо теоретичну лінію регресії. Вона показує, що збільшення вологості грунту на 1% відповідає збільшенню налипання на 0,13 г/см².