Вступ
Важливе місце в курсі теорії чисел посідають конгруенції та, зокрема, застосування конгруенцій. Цим питанням займалися такі видатні вчені як, Ейлер, Ферма, Б. Паскаль.
Пєр Ферма (1601-1665) - відомий свого часу юрист і радник судового парламенту в Тулузі - інтенсивно і з великим успіхом займався різними математичними питаннями. П. Ферма є одним з творців диференціального числення і теорії ймовірності, але особливо велике значення мають його роботи по теорії чисел. Більшість теоретико-числових результатів П. Ферма записувалися ним на полях екземпляра твору Діофанта „Арифметика”; Ферма зазвичай не записував доведення, а давав тільки короткі вказівки про метод, який він застосовував для отримання свого результату. Твір Ферма під назвою „Opera Varia" були видані вперше в 1679 р.
Теорема Ферма, викладена в цій главі, була висловлена в одному з листів, посланому їм в 1640 р. Френіклу. У цьому листі Ферма пише, що він отримав доведення цієї теореми; проте саме доведення не було ним опубліковане.
Перше з відомих доведень теореми Ферма належить Лейбніцу (1646-1716). Доведення Лейбніца було засноване на розгляді порівняння:
.
Ейлер дав декілька різних доведень теореми Ферма, з яких перше відноситься до 1736 р. У 1760 р. Ейлер узагальнив теорему, надавши їй вигляду теореми 120, що носить його імя. Треба при цьому мати на увазі, що термінологія і позначення у Ферма і у Ейлера абсолютно відмінні від сучасних.
Блез Паскаль (1623-1662) - видатний французький математик, фізик і філософ. Математичні інтереси Паскаля дуже різноманітні: він зробив істотний внесок у розвиток аналізу нескінченно малих; разом з Ферма Паскаль є основоположником теорії ймовірностей; йому належать загальна ознака подільності будь-якого цілого числа на будь-яке інше ціле число, яка ґрунтується на знанні суми цифр числа, а також спосіб обчислення біноміальних коефіцієнтів ("Арифметичний трикутник ?); він вперше точно визначив і застосував для доведення метод повної математичної індукції
Дана курсова робота складається з 5 параграфів:
1. Конгруенції та їх основні властивості: вводяться означення конгруенції, основні властивості, основні теоремами в теорії конгруенцій - Ейлера і Ферма.
2. Ознаки подільності. В цьому параграфі розглядаються основні ознаки подільності цілих чисел, при використанні конгруенцій; метод Паскаля - загальна ознака подільності будь-якого цілого числа на будь-яке інше ціле число.
3. Перевірка арифметичних дій. В даному параграфі наведено два способи перевірки арифметичних дій: "перевірки за допомогою девятки", " перевірки за допомогою одинадцяти".
4. Визначення члена цифр періоду при перетворенні звичайного дробу в десятковий. Використовуючи конгруенції можна перетворити десятковий дріб у звичайний і визначити період даного дробу.
5. Індекси. В цьому параграфі розглядають основні властивості індексів, їх загальна характеристика. Індекси по простому і складеному модулю розглядаються в окремих підпунктах.
Кожен параграф проілюстровано прикладами.