а) Основные понятия теории графов

Теория графов как теоретическая дисциплина может рассматриваться как раздел дискретной математики, исследующий свойства конечных множеств с заданными отношениями между их элементами. Как прикладная дисциплина теория графов позволяет описывать и исследовать многие физические, технические, экономические, биологические, социальные и другие системы. Например, графом, изображенным на рис. 1, в котором точки ? вершины графа ? города, линии, соединяющие вершины ? ребра ? дороги, соединяющие города, описывается так называемая транспортная задача (задача нахождения кратчайшего пути из одного города- пункта в другой).

Рис. 1.

Формальное определение графа таково. Пусть задано конечное множество V, состоящее из n элементов, называемых вершинами графа, и подмножество X декартова произведения VЧV, то есть , называемое множеством дуг, тогда ориентированным графом D называется совокупность (V,X). Неориентированным графом G называется совокупность множества V и множества ребер ? неупорядоченных пар элементов, каждый из которых принадлежит множеству V.

Одинаковые пары - параллельные или кратные ребра;

Кратностью ребер называют количество одинаковых пар.

Рис.2.

Например, кратность ребра {v1,v2} в графе, изображенном на рис. 2, равна двум, кратность ребра {v3,v4} ? трем.

Псевдограф ? граф, в котором есть петли и/или кратные ребра.

Мультиграф ? псевдограф без петель.

Граф ? мультиграф, в котором ни одна пара не встречается более одного раза.

Граф называется ориентированным, если пары (v,w) являются упорядоченными.

Ребра ориентированного графа называются дугами.

Итак, используемые далее обозначения:

V - множество вершин;

X - множество ребер или дуг;

v (или vi)- вершина или номер вершины;

G, G0 - неориентированный граф;

D, D0 - ориентированный;

{v,w} ? ребра неориентированного графа;

{v,v} - обозначение петли;

(v,w) ? дуги в ориентированном графе;

v,w - вершины, x,y,z - дуги и ребра;

n(G), n(D) количество вершин графа;

m(G) - количество ребер, m(D) - количество дуг.

Примеры

1) Ориентированный граф D=(V, X), V={v1, v2, v3, v4},

X={x1=(v1,v2), x2=(v1,v2), x3=(v2,v2), x4=(v2,v3)}.

Рис. 3.

2) Неориентированный граф G=(V, X), V={v1, v2, v3, v4, v5},

X={x1={v1,v2}, x2={v2,v3}, x3={v2,v4}, x4={v3,v4}}.

Рис. 4.