Завдання №3

Побудувати двоїсту задачу. Симплексним методом знайти оптимальний план початкової задачі. Використовуючи першу теорему двоїстості, визначити план другої задачі.

Для перетворення нерівностей в рівності вводимо змінні одиничні матриці х₃, х₄ і х₅. Для розвязку задачі симплексним методом необхідно мати три одиничних матриці при невідємних правих частинах рівнянь. Для отримання одиничної матриці в першій і третій нерівностях вводимо введемо штучні змінну х₆ і х₇ та отримаємо одиничні матриці А₆ і А₇. Де

і

В результаті наведених перетворень отримаємо наступну задачу:

У виразі функції величину М вважаємо достатньо великим додатнім числом, оскільки задача розвязується на знаходження мінімального значення функції.

Запишемо задачу у векторній формі:

де

В якості базису вибираємо одиничні вектори А₆, А₄, А₇. Вільні невідомі прирівнюємо нулю . В результаті отримаємо початковий опорний план розширеної задачі

,

якому відповідає розкладення

Для перевірки початкового опорного плану складаємо першу симплексну таблицю (таблиця1) і підраховуємо значення функції і оцінок Маємо:

тобто оскільки М попередньо не фіксовано, то оцінки є лінійними функціями величини М, причому функція складається з двох доданків, одне з яких залежить від М, інше не залежить. Для зручності розрахунків в (F-C) рядок запишемо доданок, незалежний від М, а в (М) рядок - тільки коефіцієнти при М, які і дозволяють порівняти оцінки між собою. Для векторів базису оцінки дорівнюють нулю.

Таблиця1- Перша симплексна таблиця

В (М) рядку є додатні оцінки, тому опорний план Х₀ не є оптимальним і його можна покращити, включивши в базис вектор, якому відповідає . Оскільки у нас максимальне значення 4 належить двом векторам, то в базис включаємо вектор, якому відповідає мінімальне С_j. Розвязувальним рядком вибирається той, в якому найменше відношення Серед коефіцієнтів розкладання векторів А₁ і А₂ по базису є додатні, тому хоча б один з векторів існує.. Знайдемо ці значення:

;

Таким чином підтвердилося, що розвязувальним стовпчиком буде другий, і визначилося, що розвязувальним рядком буде перший. Тобто розвязувальний елемент - число 3. Тоді вектор А₂ включаємо в базис, а вектор А₆ виключаємо з нього.

Складаємо другу симплексну таблицю (таблиця2). При цьому елементи першого (розвязувального) рядка ділимо на 3. Елементи інших рядків визначаємо використовуючи формули повного виключення Йордана-Гауса.

Таблиця2- Друга симплексна таблиця

В (М) рядку є додатні оцінки, тому план, зображений в таблиці2 не є оптимальним і його можна покращити, включивши в базис вектор, якому відповідає . Тобто за розвязувальний стовпчик вибираємо перший. Мінімальне відношення

тому розвязувальним рядком є третій. Таким чином розвязувальний елемент - число 2,67. Тоді вектор А₁ включаємо в базис, а вектор А₇ виключаємо з нього.

Складаємо другу симплексну таблицю (таблиця3). При цьому елементи третього (розвязувального) рядка ділимо на 2,67. Елементи інших рядків визначаємо використовуючи формули повного виключення Йордана-Гауса.

Таблиця3- Третя симплексна таблиця

В результаті проведеної ітерації з базису виключено штучні елементи, тому в рядку (М) всі оцінки, крім оцінки штучного вектору, перетворилися на нуль. Оскільки в рядках (F-C) і (М) не має додатних значень, то знайдене рішення

()

є оптимальним. Функція при цьому

Перевірка

Кожній задачі лінійного програмування можна поставити у відповідність двоїсту задачу. Для цього першим кроком необхідно впорядкувати запис вихідної задачі. Оскільки у нас функція мінімізується, то всі умови-нерівності повинні бути вигляду . Виконання цієї умови досягаємо множенням відповідних умов на (1-). В результаті система обмежень матиме наступний вигляд:

Оскільки вихідна задача є задачею мінімізації, то двоїста буде задачею максимізації. Двоїста задача буде мати три змінні , оскільки вихідна задача має три обмеження. При цьому вектор, отриманий із коефіцієнтів при невідомих цільової функції вихідної задачі , співпадає з вектором констант у правих частинах обмежень двоїстої задачі. Аналогічно повязані між собою вектори, утворені з коефіцієнтів при невідомих цільової функції двоїстої задачі , і константи в правих частинах обмежень вихідної задачі. Кожній змінній двоїстої задачі відповідає і-те обмеження вихідної задачі, і, навпаки, кожній змінній прямої задачі відповідає j-те обмеження двоїстої задачі. Матриця з коефіцієнтів при невідомих двоїстої задачі утворюється транспортуванням матриці А, складеної з коефіцієнтів при невідомих вихідної задачі. Якщо на j-ту змінну вихідної задачі накладена умова невідємності, то j-те обмеження двоїстої задачі буде нерівністю, в іншому випадку j-те обмеження буде рівністю; аналогічно повязані між собою обмеження вихідної задачі і змінні двоїстої.

Складаємо матрицю при невідомих вихідної задачі:

,

тоді матриця при невідомих двоїстої задачі матиме наступний вигляд:

На накладено умову невідємності, тому обмеження двоїстої задачі матимуть вигляд нерівності, а не рівності. Оскільки в початковій задачі всі обмеження мають вигляд нерівності, то накладаємо умови

Враховуючи все наведене, двоїста задача матиме наступний вигляд:

Якщо розглянути першу симплексну таблицю з одиничним додатковим базисом, то можна помітити, що в стовбцях записана вихідна задача, а в рядках - двоїста. Причому оцінками плану вихідної задачі є , а оцінками плану двоїстої задачі - З таблиці3, отриманої в результаті рішення вихідної задачі знаходимо: