Розв’язання лінійних задач методами лінійного програмування

контрольная работа

Завдання №4

Визначити оптимальний план транспортної задачі:

а) побудувати початковий опорний план методом "північно-західного" напрямку;

б) побудувати оптимальний план методом потенціалів:

Нехай в матриці А міститься інформація про кількість продукту в кожному місці виробництва, який необхідно доставити споживачам в кількості записаній в матриці В. Транспортні витрати, повязані з перевезенням одиниці продукту із одного місця виробництва одному споживачеві, записані в матриці С. Задані матриці і сказане вище для спрощення сприйняття узагальнимо в таблиці4.

Таблиця4-Поставка продукту із різних місць виробництва різним споживачам і повязані з цим витрати

Виробник

Споживач

Запаси продукту

8

3

3

4

60

5

2

7

5

20

5

4

8

2

30

7

1

5

7

20

Потреба в продукті

40

30

30

15

130

115

З таблиці4 видно, що запаси продукту у виробника на складах на 15 одиниць більші ніж необхідно споживачу, тобто маємо транспортну задачу з відкритою моделлю. Для розвязку такої задачі введемо фіктивного споживача, якому необхідно отримати одиниць продукту. Всі тарифи на доставку продукту цьому споживачеві будемо вважати рівними нулю, і весь продукт потрібний цьому споживачеві залишаємо у місці виробництва. Для побудови початкового плану перевезень (таблиця5) використаємо метод "північно-західного" напрямку: заповнювати таблицю починаємо з лівого верхнього кута, рухаючись вниз по стовбцю або вправо по рядку (тарифи перевезень напишемо в правому верхньому куту кожної клітини, кількість продукту - в нижньому лівому). В першу клітину заносимо менше з чисел (min(40;60): 40. Тобто потреба в продукті першого споживача повністю задовільнено і інші клітини першого стовпця заповнювати не будемо. Рухаємося далі по першому рядку в другий стовпчик. В цю клітину записуємо менше з 30 і (60-40), тобто пишемо 20. Таким чином перший рядок заповнювати далі не будемо, оскільки запаси першого місця виробництва остаточно вичерпано: з нього ми повністю задовольняємо потребу у продукті першого споживача і частково (20 одиниць, а не 30) другого. Рухаємося по другому стовпчику на другий рядок. Сюди записуємо менше з (30-20) або 20: маємо 10, тобто другому споживачеві ми веземо 20одиниць продукту з першого місця виробництва і 10- з другого. Аналогічно заповнюємо інші клітини.

Таблиця5- Розподіл продукту по споживачам

Виробник

Споживач

Запаси продукту

8

3

3

4

0

60

40

20

5

2

7

5

0

20

10

10

5

4

8

2

0

30

20

10

7

1

5

7

0

20

5

15

Потреба в продукті

40

30

30

15

15

130

Таким чином, в таблиці5 отримали початковий опорний план, транспортні витрати за яким складають:

Недоліком використаного методу знаходження опорного плану є ігнорування величини тарифів на перевезення продукту.

Для визначення оптимального плану перевезень використаємо метод потенціалів. Для цього кожному виробнику Аі (кожному рядку) ставимо у відповідність деяке число а кожному споживачу Ві (кожному стовпчику)- деяке число На основі таблиці5 складемо таблицю6, в якій додамо один стовпчик і один рядок для написання величини параметрів і . Їх знаходимо використовуючи першу умову оптимальності транспортної задачі: (для кожної зайнятої клітини сума потенціалів повинна дорівнювати вартості одиниці перевезення, що записана в цій клітині).

Таблиця6- Перевірка оптимальності опорного плану

Виробник

Споживач

Запаси продукту

"right">8

"right">3

"right">3

"right">4

"right">0

60

0

40

20

"right">5

"right">2

"right">7

"right">5

"right">0

20

-1

10

10

"right">5

"right">4

"right">8

"right">2

"right">0

30

0

20

10

"right">7

"right">1

"right">5

"right">7

"right">0

20

5

5

15

Потреба в продукті

40

30

30

15

15

130

Ч

8

3

8

2

-5

Ч

Ч

Систему потенціалів можна побудувати лише для невирожденого опорного плану. Такий план містить m+n-1 лінійно незалежних рівнянь виду з m+n невідомими (де m- кількість постачальників, n- кількість споживачів). Рівнянь на одне менше, ніж невідомих, тому система є невизначеною і для її розвязку одному невідомому (нехай ним буде u1) придамо нульове значення.

Для того, щоб план був оптимальним, повинна виконуватись умова: для кожної незайнятої клітини сума потенціалів повинна бути менша або дорівнювати вартості одиниці перевезення, що стоїть в цій клітині: тобто Робимо перевірку для всіх вільних клітин:

З розрахунків бачимо, що умова оптимальності не виконується для клітин, А1В3, А2В1, А3В1, А4В1, А4В2, і А4В3. Клітину, в якій додатне число отримали максимальним (А2В3, оскільки max(5;2;3;6;7;8)=8) зробимо зайнятою, для цього побудуємо цикл і отримуємо таблицю7.

Таблиця7- Другий крок пошуку оптимального рішення

Виробник

Споживач

Запаси продукту

"right">8

"right">3

"right">3

"right">4

"right">0

60

0

40

20

"right">5

"right">2

"right">7

"right">5

"right">0

20

-1

10

10

"right">5

"right">4

"right">8

"right">2

"right">0

30

0

15

15

"right">7

"right">1

"right">5

"right">7

"right">0

20

-3

5

15

Потреба в продукті

40

30

30

15

15

130

Ч

8

3

8

2

3

Ч

Ч

Транспортні витрати при такому плані перевезення складають:

Перевірка всіх вільних клітин:

Отримали відємні значення у всіх клітинах окрім А1В3 (5), А1В5 (3), А2В1 (2), А2В5 (2), А3В1 (3) і А3В5 (3). Максимальне значення max(5;3;2;2;3;3)=5 в клітині А1В3, тому заповнюємо і цикл будуємо для неї (цикл показано в таблиці7, результат дій в таблиці8).

Таблиця8- Третій крок пошуку оптимального рішення

Виробник

Споживач

Запаси продукту

"right">8

"right">3

"right">3

"right">4

"right">0

60

-

40

10

10

"right">5

"right">2

"right">7

"right">5

"right">0

20

-1

20

"right">5

"right">4

"right">8

"right">2

"right">0

30

5

15

15

"right">7

"right">1

"right">5

"right">7

"right">0

20

2

5

15

Потреба в продукті

40

30

30

15

15

130

Ч

8

3

3

-3

-2

Ч

Ч

Транспортні витрати:

тобто при такому плані перевезення товару транспортні витрати знизилися на 50грн. в порівнянні з попереднім планом перевезення. Але, щоб визначити є отриманий план оптимальним чи ні, виконаємо перевірку.

Перевірку всіх вільних клітин зобразимо в таблиці9, в якій для всіх вільних клітин запишемо різницю між сумою потенціалів і транспортними витратами в клітині.

Таблиця9- Перевірка плану отриманого в результаті третього кроку пошуку оптимального рішення задачі

-

-

-

-7

-2

2

-

-5

-9

-3

8

4

-

-

3

3

4

-

-8

-

З таблиці9 видно, що додатне значення отримали для клітин А2В1 (2), А3В1 (8), А3В2 (4), А3В5 (3), А4В1 (3) і А4В2 (4). Максимальне значення max(2;8;4;3;3;4)=8 в клітині А3В1, тому заповнюємо і цикл будуємо для неї (цикл показано в таблиці8, результат дій в таблиці10).

Таблиця1- Четвертий крок пошуку оптимального рішення задачі

Виробник

Споживач

Запаси продукту

"right">8

"right">3

"right">3

"right">4

"right">0

60

0

25

10

25

"right">5

"right">2

"right">7

"right">5

"right">0

20

-1

20

"right">5

"right">4

"right">8

"right">2

"right">0

30

-3

15

15

"right">7

"right">1

"right">5

"right">7

"right">0

20

2

5

15

Потреба в продукті

40

30

30

15

15

130

Ч

8

3

3

5

-2

Ч

Ч

Транспортні витрати:

що на 120грн. економніше попереднього варіанту розвезення продукції від постачальників до споживачів.

Перевірка всіх вільних клітин наведена в таблиці11.

Таблиця11- Різниця між сумою потенціалів і транспортними витратами для вільних клітин

-

-

-

1

-2

2

-

-5

-1

-3

-

-4

-8

-

-5

3

4

-

0

-

План, зображений в таблиці10 не є оптимальним, оскільки отримали додатні значення в клітинах А1В4 (1), А2В1 (2), А4В1 (3), А4В2 (4). Заповнюємо клітину А4В2 і будуємо опорний план (таблиця12).

Таблиця12- Пятий крок пошуку оптимального рішення задачі

Виробник

Споживач

Запаси продукту

"right">8

"right">3

"right">3

"right">4

"right">0

60

0

25

5

30

"right">5

"right">2

"right">7

"right">5

"right">0

20

-1

20

"right">5

"right">4

"right">8

"right">2

"right">0

30

-3

15

15

"right">7

"right">1

"right">5

"right">7

"right">0

20

-2

5

15

Потреба в продукті

40

30

30

15

15

130

Ч

8

3

3

5

2

Ч

Ч

Транспортні витрати за отриманим планом перевезень складають:

що на 20грн. економніше попереднього варіанту розвезення продукції від постачальників до споживачів.

Перевірка всіх вільних клітин здійснена в таблиці 13.

Таблиця13- Різниця між сумою потенціалів і транспортними витратами для вільних клітин

-

-

-

1

2

2

-

-5

-1

1

-

-4

-8

-

-1

-1

-

-4

-4

-

Оскільки в результаті розрахунків отримали додатні значення, то знову будуємо цикл і заповнюємо необхідну клітину. В даному випадку це буде або клітина А2В1 або клітина А1В5. Вибираємо останню, оскільки транспортні витрати на перевезення в ній менші. На відємних кутах циклу обєм перевезень становить 10 і 0. Оскільки min(10;0)=0, то всі клітини залишаються незмінними і лише клітина з нульовим перевезенням переходить з А4В5 на А1В5.

Новий план зображено в таблиці14.

Таблиця14- Шостий крок пошуку оптимального рішення задачі

Виробник

Споживач

Запаси продукту

"right">8

"right">3

"right">3

"right">4

"right">0

60

0

25

30

5

"right">5

"right">2

"right">7

"right">5

"right">0

20

-1

20

"right">5

"right">4

"right">8

"right">2

"right">0

30

-3

15

15

"right">7

"right">1

"right">5

"right">7

"right">0

20

0

10

10

Потреба в продукті

40

30

30

15

15

130

Ч

8

1

3

5

0

Ч

Ч

Транспортні витрати за отриманим планом перевезень складають:

Розрахунки для перевірка всіх вільних клітин здійснені в таблиці 15:

Таблиця15- Різниця між сумою потенціалів і транспортними витратами для вільних клітин

-

-2

-

1

-

4

-

-3

1

1

-

-6

-8

-

-3

1

-

-2

-2

-

З таблиці15 видно, що максимальне додатне значення отримали для клітини А2В1, тому заповнюємо її будуючи для неї цикл, який показано в таблиці14. Результат дій в таблиці16.

Таблиця16- Сьомий крок пошуку оптимального рішення задачі

Виробник

Споживач

Запаси продукту

"right">8

"right">3

"right">3

"right">4

"right">0

60

0

15

30

15

"right">5

"right">2

"right">7

"right">5

"right">0

20

-3

10

10

"right">5

"right">4

"right">8

"right">2

"right">0

30

-3

15

15

"right">7

"right">1

"right">5

"right">7

"right">0

20

-4

20

Потреба в продукті

40

30

30

15

15

130

Ч

8

5

3

5

0

Ч

Ч

Транспортні витрати:

що на 40грн. економніше попереднього варіанту розвезення продукції від постачальників до споживачів.

Перевірка всіх вільних клітин наведена в таблиці17.

Таблиця17- Різниця між сумою потенціалів і транспортними витратами для вільних клітин

-

2

-

1

-

-

-

-7

-3

-3

-

-2

-8

-

-3

-3

-

-6

-6

-4

План, зображений в таблиці8 не є оптимальним, оскільки отримали додатні значення в клітинах А1В2 (2) і А1В4 (1). Заповнюємо клітину А1В2 і будуємо опорний план (таблиця18).

Таблиця18- Восьмий крок пошуку оптимального рішення задачі

Виробник

Споживач

Запаси продукту

"right">8

"right">3

"right">3

"right">4

"right">0

60

0

5

10

30

15

"right">5

"right">2

"right">7

"right">5

"right">0

20

-3

20

"right">5

"right">4

"right">8

"right">2

"right">0

30

-3

15

15

"right">7

"right">1

"right">5

"right">7

"right">0

20

-2

20

Потреба в продукті

40

30

30

15

15

130

Ч

8

3

3

5

0

Ч

Ч

Транспортні витрати за отриманим планом перевезень складають:

що на 20грн. економніше попереднього варіанту розвезення продукції від постачальників до споживачів. Перевірка всіх вільних клітин здійснена в таблиці 19.

Таблиця19- Різниця між сумою потенціалів і транспортними витратами для вільних клітин

-

-

-

1

-

-

-2

-7

-3

-3

-

-4

-8

-

-3

-1

-

-4

-4

-2

Оскільки в результаті розрахунків отримали додатне значення в єдиній клітині А1В4, то будуємо цикл і заповнюємо її. Новий план зображено в таблиці20.

Таблиця20- Девятий крок пошуку оптимального рішення задачі

Виробник

Споживач

Запаси продукту

"right">8

"right">3

"right">3

"right">4

"right">0

60

0

10

30

5

15

"right">5

"right">2

"right">7

"right">5

"right">0

20

-2

20

"right">5

"right">4

"right">8

"right">2

"right">0

30

-2

20

10

"right">7

"right">1

"right">5

"right">7

"right">0

20

-2

20

Потреба в продукті

40

30

30

15

15

130

Ч

7

3

3

4

0

Ч

Ч

Розрахунки для перевірка всіх вільних клітин здійснені в таблиці 21:

Таблиця21- Різниця між сумою потенціалів і транспортними витратами для вільних клітин

-1

-

-

-

-

-

-1

-6

-3

-2

-

-3

-7

-

-2

-2

-

-4

-5

-2

Рішення, зображене в таблиці20 є оптимальним, оскільки для кожної незайнятої клітини сума потенціалів менша вартості перевезень, що знаходиться у відповідній клітинці. Транспортні витрати по оптимальному плану перевезень становлять:

Знайдений оптимальний план покращив результат діяльності у порівнянні з початковим (зменшив транспортні витрати) на 685-380=305гривень.

Делись добром ;)