II. ПРИМЕРЫ АКСИОМАТИЧЕСКИХ ТЕОРИЙ.

Приведём примеры аксиоматических теорий возникших разными путями.

Пример1. Теория групп - одна из теорий, возникших на втором пути. Было известно не мало объектов, обладающих многочисленными общими чертами. Среди них, в частности, множество F1-1(М) всех взаимнооднозначных отображений множества М на себя, рассматриваемое вместе с операцией суперпозиции отображений, множество Z всех целых чисел, рассматриваемое вместе с операцией сложения целых чисел, множество V2 всех векторов плоскости, рассматриваемое вместе с операцией сложения векторов по правилу треугольника или параллелограмма. Обозначив каждое из этих множеств через G, а каждую из операций через * (и называя её композицией элементов из G), обнаруживаем, что все три указанные объекта обладают следующими свойствами:

G0. Для любых а и в из G композиция а ? в есть однозначно определённый элемент из G.

G1. Для любых а и в и с из G (а ? в) ? с = а ? (в ? с).

G2. В G имеется такой элемент е, что для любого а из G а ? е = е ? а = а.

G3. Для любого а из G имеется такой а из G, что а ? а = а? а = е.

Например, элемент е, существование которого утверждается в свойстве G2, в случае F1-1(М) есть тождественное отображение М на М, в случае Z - целое число 0, в случае V2 - нуль вектор. В свойстве G3 элемент а есть обратное преобразование f-1, противоположное число -m, противоположный вектор ВА для преобразования f, целого числа m и вектора АВ соответственно. Утверждения G0 - G3 и составляют систему аксиом теории групп. Из этих аксиом можно выводить разнообразные теоремы и тем самым строить аксиоматическую теорию групп. Докажем несколько теорем этой теории.

Теорема 1. В группе имеется точно один единичный элемент.

Доказательство: Ввиду G2 нужно доказать лишь единственность. Допустим, что в G имеется два единичных элемента -е1 и е2, т.е. на основании G2, для любого ае1?=а и а?е2= а. Тогда, в частности, е1* е2= е2 и е1* е2= е1. Следовательно, в силу G0 и свойств равенства е1= е2.

Теорема 2. Для каждого элемента группы имеется точно один обратный.

Доказательство: Ввиду G3 остаётся доказать лишь его единственность. Допустим, что в G для элемента а имеется два обратных а и а, т.е. таких элементов, что а ? а = е и а ? а = е. Тогда, в силу G1 (а ? а) ? а = а и, следовательно, е ? а = а ? е. Отсюда следует, согласно G2, что а = а.

В мультипликативной терминологии обратный элемент для а обозначается через а-1, так что а-1? а = а ? а-1= е, где единственный единичный элемент из G.

Теорема 3. Для любых элементов а, в, с, группы G из а * в = а * с следует в = с, и из в * а = с * а следует в = с.

Доказательство: Пусть а * в = а * с. Тогда а-1 * (а * в)=( а-1 * а) * в = е * в = в. С другой стороны, а-1 * (а * в)= а-1 * (а * с) = (а-1 * а) * с = е * с = с. следовательно, в = с. Пусть в * а = с * а. Тогда (в * а) * а-1= в * (а * а-1) = в * е = в. С другой стороны (с * а) * а-1= с * (а * а-1) = с * е = в. Значит в = с.

Пример 2. Теория конгруэнтности (равенства) отрезков. S множество всех отрезков и ? отношение, называемое отношением конгруэнтности, так, что выражение х ? у читается так: отрезок х конгруэнтен отрезку у. Выберем в качестве аксиом следующие утверждения:К1. Для всякого х из S х ? х.

К2. Для любых элементов х, у, z из S, если х ? z и у ? z, то х ? у.

Докажем теорему.

Теорема 1. Для любых элементов у и z из S, если у ? z, то z ? у.

Доказательство: По аксиоме К2, подставив z вместо х, получим, что если z ? z и у ? z, то z ? у. Поскольку член конъюнкции z ? z истинен на основании аксиомы К1, то из конъюнкции его можно убрать. Получим, что если у ? z, то z ? у.

Пример 3. Аксиоматическая теория натуральных чисел построена итальянским математиком Дж. Пеано на рубеже XIX и XX веков. Её первоначальными понятиями являются: непустое множество N, бинарное отношение и выделенный элемент 1. Аксиомы выбираются следующие:

(Р1) (? х) (х ? 1).

(Р2) (? х, у) (х = у ? х = у)

(Р3) (? х, у) (х = у ? х = у)

(Р4) (Аксиома индукции) (1?М ^ (? х)(х?М? х?М)) ?М=N.

Правилами вывода служат обычные логические правила Modus Ponens и правило подстановки.

Приведём доказательства двух теорем, непосредственно вытекающих из этих аксиом.

Теорема 1. (? х) (х ? х)

Доказательство: Рассмотрим множество. М = {х ? N: х ? х }. Покажем, используя аксиому индукции (Р4), что М = N.

А) 1?М, так как 1? 1 по аксиоме Р1.

Б) Пусть х?М, т.е. х ? х. Тогда, по аксиоме Р3, (х) ? х. Следовательно, по определению, х ?М.

Условия аксиомы Р4 выполнены. Тогда, по аксиоме Р4, М = N. Это и означает, что (? х) (х ? х).

Пример 4. Аксиоматическое построение канторовской («наивной») теории множеств на основе нескольких систем аксиом. Всего рассмотрим три системы аксиом.

Первоначальными понятиями теории Т, являются бинарные операции ?, ? (пересечение и объединение), унарная операция (дополнение), нульарные операции 0 и 1, фиксирующие два различных элемента - нулевой и единичный. Система аксиом ?1 этой теории симметрична относительно операций ?, ?, 0, 1.

(А1) х ? у = у ? х.

(А2) х ? у = у ? х.

(А3) х ? (у ? z) = (х ? у) ? (х ? z).

(А4) х ? (у ? z) = (х ? у) ? (х ? z).

(А5) х ? 1 = х.

(А6) х ? 0 = х.

(А7) х ? х = 0.

(А8) х ? х = 1.

Первоначальными понятиями второй теории Т2 являются бинарная операция ? и унарная операция . Система аксиом ?2 этой теории, наоборот, ассиметрична, «смещена» в сторону операции ?.

(В1) х ? у = у ? х.

(В2) (х ? у) ? z = х ? (у ? z).

(В3) х ? у = z ? z ? х ? у = х.

(В4) х ? у = х ? х ? у = z ? z.

Наконец, в третий теории Т3 , в которой первоначальными понятиями являются бинарное отношение С, бинарные операции ? и ?, унарная операция и нульарные операции 0 и 1, система аксиом ?3 следующая:

(С1) х ? х.

(С2) х ? у ^ у ? z = х ? z.

(С3) х ? у ? z ? х ? z ^ у ? z.

(С4) z ? х ? у ? z ? х ^ z ? у.

(С5) х ? (у ? z) ? (х ? у) ? (х ? z).

(С6) х ? 1.

(С7) 0 ? х.

(С8) 1 ? х ? х.

(С9) х ? х ? 0.