Функция Дирака

дипломная работа

1.1. Основные понятия.

В разных вопросах математического анализа термин «функция» приходится понимать с разной степенью общности. Иногда рассматриваются непрерывные, но не дифференцируемые функции, в других вопросах приходится предполагать, что речь идет о функциях, дифференцируемых один или несколько раз и т.д. Однако в ряде случаев классическое понятие функции, даже трактуемое в самом широком смысле, т.е. как произвольное правило, относящее каждому значению x из области определения этой функции некоторое число y=f(x), оказывается недостаточным.

Вот важный пример: применяя аппарат математического анализа к тем или иным задачам, нам приходится сталкиваться с таким положением, когда те или иные операции анализа оказываются невыполнимыми; например, функцию, не имеющую производной (в некоторых точках или даже всюду), нельзя дифференцировать, если производную понимать как элементарную функцию. Затруднений такого типа можно было бы избежать, ограничившись рассмотрением одних только аналитических функций. Однако такое сужение запаса допустимых функций во многих случаях весьма нежелательно. Необходимость дальнейшего расширения понятия функции стала особенно острой.

В 1930 году для решения задач теоретической физики крупнейшему английскому физику-теоретику П. Дираку, одному из основателей квантовой механики, не хватило аппарата классической математики, и он ввел новый объект, названный “дельта-функцией”, который выходил далеко за рамки классического определения функции.

П. Дирак в книге «Принципы квантовой механики» [5] определил дельта-функцию д(x) следующим образом:

.

Кроме того задается условие:

Наглядно можно представить график функции, похожей на д(x), как показано на рисунке 1. Чем более узкой сделать полоску между левой и правой ветвью, тем выше должна быть эта полоска, для того чтобы площадь полоски (т.е. интеграл) сохраняла свое заданное значение, равное 1. При сужении полоски мы приближаемся к выполнению условия д(x) = 0 при x ? 0, функция приближается к дельта-функции.

Такое представление общепринято в физике.

Следует подчеркнуть, что д(x) не является функцией в обычном смысле, так как из этого определения следуют несовместимые условия с точки зрения классического определения функции и интеграла:

при и .

В классическом анализе не существует функции, обладающей свойствами, предписанными Дираком. Лишь несколько лет спустя в работах С.Л. Соболева и Л. Шварца дельта-функция получила свое математическое оформление, но не как обычная, а как обобщенная функция.

Прежде чем переходить к рассмотрению функции Дирака, введем основные определения и теоремы, которые нам будут необходимы:

Определение 1. Изображением функции f(t) или L - изображением заданной функции f(t) называют функцию комплексной переменной p,определяемую равенством:

При этом будем считать, что при t<0 f(t)=0, а при t>0 выполняется неравенство , где М и а - некоторые положительные постоянные.

Определение 2.Функция f(t) , определенная так:

,

называется единичной функцией Хевисайда и обозначается через . График этой функции изображен на рис.2

Найдем L - изображение функции Хевисайда:


.

Итак,

(1)

Пусть функция f(t) при t<0 тождественно равна нулю (рис.3). Тогда функция f(t-t0) будет тождественно равна нулю при t<t0 (рис.4).

Для нахождения изображения д(x) с помощью вспомогательной функции рассмотрим теорему запаздывания:

Теорема 1. Если F(p) есть изображение функции f(t), то есть изображение функции f(t-t0), то есть если L{f(t)}=F(p), то .

Доказательство.

По определению изображения имеем

.

Первый интеграл равен нулю, так как f(t-t0)=0 при t<t0. В последнем интеграле сделаем замену переменной t-t0=z:

.

Таким образом, .

Для единичной функции Хевисайда было установлено, что . На основании доказанной теоремы следует, что для функции , L -изображением будет , то есть

(2)

Определение 3. Непрерывная или кусочно-непрерывная функция д(t,л) аргумента t, зависящая от параметра л, называется иглообразной, если:

1) при ;

2) при ;

3)

Определение 4. Числовую функцию f, определенную на некотором линейном пространстве L, называют функционалом.

Зададим совокупность тех функций, на которых будут действовать функционалы. В качестве этой совокупности рассмотрим множество K всех вещественных функций ц(x), каждая из которых имеет непрерывные производные всех порядков и финитна, то есть обращается в нуль вне некоторой ограниченной области (своей для каждой из функций ц(x)). Эти функции будем называть основными, а всю их совокупность К - основным пространством.

Определение 5. Обобщенной функцией называется всякий линейный непрерывный функционал, определенный на основном пространстве К.

Расшифруем определение обобщенной функции:

1) обобщенная функция f есть функционал на основных функциях ц, то есть каждой ц сопоставляется (комплексное) число (f, ц);

2) функционал f линейный, то есть для любых комплексных чисел л1 и л2 и любых основных функций ц1 и ц2;

3) функционал f непрерывный, то есть , если .

Определение 6. Импульс - одиночный, кратковременный скачок электрического тока или напряжения[2, стр. 482].

Определение 7. Средняя плотность - отношение массы тела m к его объему V, то есть [2, стр. 134].

Теорема 2. (Обобщенная теорема о среднем).

Если f(t) - непрерывная, а - интегрируемая функции на [a;b], причем на этом отрезке не меняет знака, то , где [1, стр. 228].

Теорема 3. Пусть функция f(x), ограничена на [a,b] и имеет не более конечного числа точек разрыва. Тогда функция является первообразной для функции f(x) на отрезке [a,b] и для любой первообразной Ф(x) справедлива формула [1, стр. 220].

Определение 8. Совокупность всех непрерывных линейных функционалов, определенных на некотором линейном пространстве Е, образует линейное пространство. Оно называется пространством, сопряженным с Е, и обозначается Е*.

Определение 9. Линейное пространство Е, в котором задана некоторая норма, называется нормированным пространством.

Определение 10. Последовательность называется слабо сходящейся к , если для каждого выполнено соотношение .

Теорема 4. Если {xn} - слабо сходящаяся последовательность в нормированном пространстве, то существует такое постоянное число С, что [10, стр. 187].

Делись добром ;)