6. Задачи на нахождение частей циклоиды и фигур, образованных циклоидой

Задача №1. Найти площадь фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды, уравнение которой задано параметрически

и осью Ох.

Решение. Для решения данной задачи, воспользуемся известными нам фактами из теории интегралов, а именно:

Площадь криволинейного сектора.

Рассмотрим некоторую функцию r = r(?), определенную на [б, в].

Будем считать, что r и ? -- полярные координаты точки. Тогда любому

?₀ ? [б, в] соответствует r₀ = r(?₀) и, значит, точка M₀(?₀, r₀), где ?₀,

r₀ -- полярные координаты точки. Если ? будет меняться, «пробегая» весь[б, в], то переменная точка M опишет некоторую кривую AB, заданную

уравнением r = r(?).

Определение 7.4. Криволинейным сектором называется фигура, ограниченная двумя лучами ? = б, ? = в и кривой AB, заданной в полярных

координатах уравнением r = r(?), б ? ? ? в.

Справедлива следующая

Теорема. Если функция r(?) > 0 и непрерывна на [б, в], то площадь

криволинейного сектора вычисляется по формуле:

Эта теорема была доказана ранее в теме определенного интеграла.

Исходя из приведенной выше теоремы, наша задача о нахождении площади фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды, уравнение которой задано параметрические x= a (t - sin t) , y= a (1 - cos t) , и осью Ох, сводится к следующему решению.

Решение. Из уравнения кривой dx = a(1?cos t) dt. Первая арка циклоиды соответствует изменению параметра t от 0 до 2р. Следовательно,

Задача №2. Найти длину одной арки циклоиды

Так же в интегральном исчислении изучалась следующая теорема и следствие из нее.

Теорема. Если кривая AB задана уравнением y = f(x), где f(x) и f(x) непрерывны на [a, b], то AB является спрямляемой и

Следствие. Пусть AB задана параметрически

L_AB = (1)

Пусть функции x(t), y(t) непрерывно-дифференцируемые на [б, в]. Тогда

формулу (1) можно записать так

Сделаем замену переменных в этом интеграле x = x(t), тогда y(x)= ;

dx= x(t)dt и, следовательно:

То есть:

А теперь вернемся к решении нашей задачи.

Решение. Имеем , а поэтому

= 8a

Задача №3. Надо найти площадь поверхности S, образованной от вращения одной арки циклоиды

L={(x,y): x=a(t - sin t), y=a(1 - cost), 0? t ? 2р}

В интегральном исчислении существует следующая формула для нахождения площади поверхности тела вращения вокруг оси х кривой, заданной на отрезке [a,b] параметрически: x=ц(t), y=ш(t) (t₀ ?t ?t₁)

|S|=

Применяя эту формулу для нашего уравнения циклоиды получаем:

Задача №4. Найти объем тела, полученного при вращении арки циклоиды

Вдоль оси Ох.

В интегральном исчислении при изучении объемов есть следующее замечание:

Если кривая, ограничивающая криволинейную трапецию задана параметрическими уравнениями и функции в этих уравнениях удовлетворяют условиям теоремы о замене переменной в определенном интеграле, то объем тела вращения трапеции вокруг оси Ох, будет вычисляться по формуле

Воспользуемся этой формулой для нахождения нужного нам объема.

Задача решена.

Заключение

Итак, в ходе выполнения данной работы были выяснены основные свойства циклоиды. Так же научились строить циклоиду, выяснила геометрический смысл циклоиды. Как оказалось циклоида имеет огромное практическое применение не только в математике, но и в технологических расчетах, в физике. Но у циклоиды есть и другие заслуги. Ею пользовались ученые XVII века при разработке приемов исследования кривых линий, -- тех приемов, которые привели в конце концов к изобретению дифференциального и интегрального исчислений. Она же была одним из «пробных камней», на которых Ньютон, Лейбниц и их первые исследователи испытывали силу новых мощных математических методов. Наконец, задача о брахистохроне привела к изобретению вариационного исчисления, столь нужного физикам сегодняшнего дня. Таким образом, циклоида оказалась неразрывно связанной с одним из самых интересных периодов в истории математики.

Литература

1. Берман Г.Н. Циклоида. - М., 1980

2. Веров С.Г. Брахистохрона, или еще одна тайна циклоиды // Квант. - 1975. - №5

3. Веров С.Г. Тайны циклоиды// Квант. - 1975. - №8.

4. Гаврилова Р.М., Говорухина А.А., Карташева Л.В., Костецкая Г.С.,Радченко Т.Н. Приложения определенного интеграла. Методические указания и индивидуальные задания для студентов 1 курса физического факультета. -- Ростов н/Д: УПЛ РГУ, 1994.

5. Гиндикин С.Г. Звездный век циклоиды // Квант. - 1985. - №6.

6. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.1. - М.,1969