Задачи для самостоятельного решения

1. Известно, что .Найти значение истинности следующих высказываний:

а); б);

в)

2. Известно, что предикаты иимеют натуральные предметные переменные. Построить начала их таблиц истинности и выяснить истинностные значения следующих высказываний:

а); б); в).

3. Пусть предикаты иопределены на множестве натуральных чисел. Зададим новыеZ предикаты . Найти истинностные значения следующих высказываний:

а); б); в).

4. Записать формулой алгебры предикатов следующие предложения:

а) «если х простое число, то оно не делится ни на какое простое у»;

б) «если число х делится на 2 и на 3, то оно составное»;

в) «каждый квадрат являются параллелограммом»;

е) «каждое простое число нечетно, но существуют нечетные составные числа».

5. Зная, что иследующие формулы предикатов алгебры сформулировать по-русски:

а) ;

б) ;

в) .

6. На графике изобразить области истинности предикатов с действительными предметными переменными:

а) ; б); в);

г) ; д).

7. Пусть – четное число»,– четное число» определены наZ. Найти истинностные значения высказываний:

а);

б) ;

в) .

8. Проверить, имеет ли место логическое следование, если все участвующие в записях предметные переменные являются действительными:

а); б); в).

9. С помощью равносильностей алгебры предикатов доказать: а) ;

б) ;

в) .

10. Для следующих утверждений сформулировать обратное, противоположное, обратное противоположному и выяснить, какие из них являются теоремами:

а) «Если в четырехугольник можно вписать окружность, то этот четырехугольник является ромбом»;

б) «Если четырехугольник является ромбом, то его диагонали взаимно перпендикулярны»;

в) «Если два числа делятся на 7, то их произведение делится на 7».

11. Следующие формулы алгебры предикатов записать с ограниченными кванторами: а);

б).

12. Следующие формулы с ограниченными кванторами записать с обычными кванторами: а) ;

б).

13. Перевести предложение на логический язык, построить его отрицание и полученное отрицание перевести на русский язык:

а) «Для любых натуральных чисел х и у существует натуральное число такое, что если», то»;

б) «Для любых натуральных чисел х и у и , еслии, то»;

в) «Существует натуральное число у такое, что если », то для любого натурального числаверно».

14. Найти области истинности предикатов, определенных на множестве действительных чисел:

а) ; б) ;

в) ; г) .

15. Перевести предложение на логический язык, построить его отрицание и это отрицание перевести на русский язык:

а) «Если при всяком положительном х разность положительна, тоу отрицателен»;

б) «Если при некотором отрицательном х произведение ху отрицательно, то у положителен»;

в) «Если существует неотрицательное х такое, что разность отрицательна, то у отрицателен», то для любого натурального числаверно»;

г) «Если при некотором у произведение положительно, тох положителен»;

д) «Если при всяком положительном х сумма больше единицы, тоу положителен».

16. Если 6 – составное число (A), то 12 – составное число (B). Если 12 – составное число, то существует простое число больше чем 12 (C). Если существует простое число больше 12, то существует составное число больше 12 (D). Если 6 делится на 2 (E), то 6 – составное число. Число 12 составное. Следует ли отсюда, что 6 – составное число?

17. Если я поеду автобусом (А), а автобус опоздает (В), то я пропущу назначенное свидание (С). Если я пропущу назначенное свидание и начну огорчаться (D), то мне не следует ехать домой (E). Если я не получу работу (Р), то я начну огорчаться и мне следует поехать домой. Следует ли тогда, что если я поеду автобусом и автобус опоздает, то я получу работу?

18. Если Сергей выиграет теннисный турнир (А), то он будет доволен (В), а если он будет доволен, то он плохой борец в последующих турнирах (С). Но если он проиграет этот турнир, то потеряет поддержку своих болельщиков (D). Он плохой борец в последующих турнирах, если потеряет поддержку своих болельщиков. Если он плохой борец в последующих турнирах, то ему следует прекратить занятия теннисом (E). Сергей или выиграет этот турнир, или проиграет его. Следовательно, ему нужно прекратить занятия теннисом. Справедливо ли приведенное рассуждение с точки зрения логики?

19. Или Анна и Антон одного возраста (А), или Анна старше Антона (В). Если Анна и Антон одного возраста, то Наташа и Антон не одного возраста (С). Если Анна старше Антона, то Антон старше Николая (D). Следует ли отсюда, что либо Наташа и Антон не одного возраста, либо Антон старше Николая?

20. Для предложения: «Если каждое слагаемое суммы четно, то сумма четна» сформулируйте обратное, противоположное и обратно-противоположное предложения. Какие из них верны?

21. Сформулируйте теорему «Если два прямоугольника равны, то площади их равны» в виде:

а) необходимого условия; б) достаточного условия.

22. Утверждение «Равенство треугольников есть достаточное условие их равновеликости» сформулируйте в виде условного предложения (в форме «если А, то В»).

23. Утверждение «Четность суммы есть необходимое условие четности каждого слагаемого» сформулируйте в виде условного предложения.

24. Утверждение «Для того чтобы диагонали четырехугольника были перпендикулярны, достаточно, чтобы этот четырехугольник был ромбом» сформулируйте в виде: а) условного предложения; б) необходимого условия.

25. Теорему «Параллелограмм является ромбом тогда и только тогда, когда его диагонали взаимно перпендикулярны» сформулируйте в виде необходимого и достаточного условия (дайте две формулировки).

26. Родители сказали детям: «Если мы поедем в дом отдыха, то вы поедете в лагерь». В школе детей спросили, куда они поедут летом. «Если мы поедем в лагерь, то родители поедут в дом отдыха», – ответил Петя. Галя сказала: «Если папа с мамой не поедут в дом отдыха, то мы не поедем в лагерь». «Нет, не так, – вмешался Коля. – Если мы не поедем в лагерь, то родители не поедут в дом отдыха». Чей ответ равносилен тому, что сказали родители? Кто из детей сказал разными словами одно и то же?

27.Докажите, что для любого натурального n справедливо равенство:

а);

б);

в);

г);

д);

е).

28. Пусть . Найдите выражение для , докажите.

29. При каких справедливо неравенство ?

30. При каких справедливо неравенство ?

31. Докажите, что .

32. Докажите, что .

33.Доказать, что

34. Пусть – геометрическая прогрессия со знаменателем . Докажите, что , .

35. Докажите неравенство Бернулли для любого действительного :.

36. Докажите, что

37. Докажите, что .

38. Докажите, что .

39. Докажите, что сумма кубов трех последовательных натуральных чисел делится на 9.

40. Докажите, что

41. Докажите, что при целом четном .

42. Докажите, что при любом натуральном , кратном 4.

43. Докажите, что число, запись которого состоит из единиц, делится на.

44. Пусть – последовательность:,. Докажите, что .

45.Пусть– последовательность,,. Найдите выражениечерез, доказать его справедливость при всех натуральных.

46. Пусть ,,. Докажите, чтодля всех.

47. Пусть – последовательность Фибоначчи:,,. Докажите, что.

48. Докажите свойства чисел Фибоначчи:

1) ;

2) (рассмотреть отдельно четные, нечетные номера).

49. Пусть ,. Докажите, что.

50. Пусть ,. Докажите, что.

51.Докажите, что при ,.

52. Пусть – последовательность,,. Докажите, что .

53. Докажите, что при.

54. Докажите, что .

55. Докажите, что .

56. Докажите, что при .

57. Докажите при .

58. Докажите, что среднее геометрическое положительных чисел не больше их среднего арифметического: .