3.2.3 Зміни екваторіальних і екліптичних координат Сонця і їх вплив на час

Якщо вважати, що диференціал тої чи іншої величини характеризує її елементарну зміну, то, диференціюючи (3.3), отримаємо

, (3.4)

що свідчить про прямий зв’язок зміни істинного часу зі зміною годинного кута Сонця.

В свою чергу, на основі формули зоряного часу (3.4) шляхом її диференціювання можна отримати

. (3.5)

Оскільки для визначення зоряного часу можна використовувати спостереження довільної зірки, в тому числі і Сонця, то правомірним буде і таке рівняння:

. (3.6)

Зоряний час є системою рівномірного часу, тому величина його приросту , і, таким чином . З урахуванням (3.4) знайдемо

. (3.7)

Залежність (3.7) свідчить про те, що приріст істинного часу є функцією приросту прямого сходження Сонця, і якщо зміна цієї координати Сонця відбувається нерівномірно, то і система істинного часу є нерівномірною

Встановимо фактори, що впливають на зміну прямого сходження Сонця і відповідно на істинний час. Розглянемо рисунок 3.4.

Рисунок 3.4 - Зв’язок між екваторіальними і екліптичними координатами

Нехай в довільній точці екліптики знаходиться Сонце, екваторіальні координати якого і , а екліптична довгота - .

Розв’язуючи сферичний прямокутний трикутник , за правилом К-М знайдемо

, (3.8)

де - нахил екліптики до екватора. З (3.8) визначимо

,

диференціюючи який за і , отримаємо

. (3.9)

З розв’язку того ж трикутника знайдемо вираз для сторони . Маємо

. (3.10)

Рівняння (3.10) доводить, що нерівномірна зміна екліптичної довготи видимого Сонця впливає на нерівномірну зміну прямого сходження, а відповідно на істинний час. Крім цього, на нерівномірну зміну буде впливати нахил екліптики до екватора .

Отже, для виправлення системи виміру часу за істинним Сонцем і перетворення її в систему з рівномірним рухом точки фіксації доби необхідні, виключаючи вплив двох факторів: 1) нерівномірність зміни екліптичної довготи , що є відображенням нерівномірної швидкості руху видимого Сонця по екліптиці; 2) нерівномірність зміни прямого сходження , зумовлена нахилом екліптики до екватора.

В

Рисунок 3.5 - Аналіз руху Землі по орбіті

Зв’язок між істинною аномалією і середньою аномалією встановлюється рівнянням

, (3.11)

де - ексцентриситет земної орбіти 0,017. Різниця називається рівнянням центра. Вона характеризує не-рівномірність річного руху Землі по орбіті, а відповідно і нерівномірність руху видимого Сонця по екліптиці.

Визначимо істинну аномалію через екліптичну довготу Сонця. З рис. 3.2 бачимо, що сферична відстань , а сферична відстань . Тоді екліптична довгота Сонця , що відповідає сферичній відстані , буде такою:

.

Назвемо фіктивну точку (рис. 3.5), що рухається по колу з рівномірною швидкістю, середнім екліптичним Сонцем. Положенню цієї точки на екліптиці відповідає точка і її екліптична довгота . З рисунка бачимо, що значення цієї довготи може визначатися рівнянням

,

або

.

Тоді

, (3.12)

або з врахуванням (3.11) отримаємо:

. (3.13)

Враховуючи, що , для аналізу руху середнього екліптичного Сонця на основі (3.13) і (3.12) знайдемо

. (3.14)

Формула (3.12) доводить, що точки перигея і апогея екліптики (видиме Сонце і середнє екліптичне Сонце) будуть проходити одночасно, оскільки в цих точках величина буде набувати значення відповідно 360º і 180º. Оскільки в перигеї істинне Сонце з найбільшою швидкістю, то на ділянці екліптики від перигея до апогея середнє екліптичне Сонце буде рухатись за істинним Сонцем, тоді, як на ділянці екліптики від апогея до перигея , воно буде попереду істинного Сонця.

Описаний рух не враховує весняного рівнодення на екліптиці і відповідно вплив цього фактора на рух середнього екліптичного Сонця.

Рух видимого Сонця по екліптиці детально вивчив виданий англійський астроном Ньюком в кінці ХІХ сторіччя. Користуючись спостереженнями Сонця, отриманими різними обсерваторіями Світу впродовж майже трьох століть, Ньюком розробив теорію руху Землі по орбіті (видимого руху Сонця по екліптиці), яка не втратила свого значення до сьогодні. Для визначення довготи середнього екліптичного Сонця була отримана формула

. (3.15)

В цій формулі ( ) – час, що пройшов від фундаментальної епохи , за яку в даний час в астрономії приймають епоху 2000 р., січень 0^d, 12^h всесвітнього часу (а з 1952 р. відповідно до рекомендацій Міжнародного астрономічного товариства - 12^h ефемеридного часу ) до моменту часу в середніх сонячних добах, а - відраховується від епохи в юліанських століттях по 36525 середніх сонячних діб в кожному столітті. Незначна нерівномірність зростання , що виражена квадратичним числом формули (3.15), враховує нерівномірність процесійного руху точки весняного рівнодення по екліптиці, а також вплив на рух середнього екліптичного Сонця періоду обертання Землі довкола Сонця.

Врахування впливу нахилу екліптики на рух видимого Сонця

Формула (3.10) свідчить, що на рівномірність зміни приросту прямого сходження Сонця впливає не тільки нерівномірність зміни швидкості руху видимого Сонця по екліптиці, але й нахил екліптики до екватора .

Якщо прийняти, що по екліптиці з рівномірною швидкістю рухається середнє екліптичне Сонце, положення якого в довільній точці екліптики визначається екліптичною довготою , а його пряма сходження в цій точці , то залежність між цими координатами встановлює формула (3.8). Запишемо її в такому вигляді:

. (3.16)

При сталому значенні нахилу екліптики , наприклад , і рівномірній зміні , наприклад на 10º, значення буде змінюватись нерівномірно. Це означає, що середнє екліптичне Сонце не може служити точкою виміру стабільної одиниці виміру часу. Щоб зміна координати була рівномірною, необхідно ввести в цю координату поправку, яка виключала б вплив нахилу екліптики.

Назвемо цю поправку приведенням до площини екватора і позначимо її як [1]. Фіктивна точка, яка буде рухатись по екватору з рівномірною швидкістю, що відповідає рівномірній зміні екліптичної довготи середнього екліптичного Сонця, отримала назву середнього екваторіального Сонця.

Визначимо пряме сходження середнього екваторіального Сонця рівнянням

. (3.17)

Роблячи заміни відповідних величин в (3.16) виразами (3.17) і (3.12), отримаємо

.

Так як - величина мала, то її функцію представимо розкладом в ряд, обмежуючись двома членами розкладу. Маємо

.

Або після деяких перетворень знаходимо

. (3.18)

За формулою (3.18) поправка обчислюється у радіанній мірі.

Аналіз зміни цієї поправки дає змогу дослідити рух середнього екваторіального Сонця по екватору. Бачимо, що середнє екваторіальне Сонце одночасно з середнім екліптичним Сонцем проходить точки весняного і осіннього рівнодення, а також точки літнього і зимового сонцестояння, оскільки в цих точках , а в проміжку між ними відстає від середнього екліптичного Сонця на ділянках екліптики, де поправка набуває від’ємного значення і випереджує середнє екліптичне Сонце в тих частинах екліптики, де значення поправок додатні.

Рух середнього екваторіального Сонця по екватору визначають рівнянням [1]

, (3.19)

де ( ) і - проміжки часу, аналогічні до відповідних величин формули (3.15). Формула (3.19) є однією з фундаментальних формул астрономії і широко застосовується при розрахунках зоряного часу та визначення рівняння часу. Порівнюючи формули (3.15) і (3.19), можна встановити величину зміни відповідних координат у певний заданий момент часу. Перевівши постійні члени і коефіцієнти цих формул в одну систему обліку часу (наприклад, в годинну міру), побачимо, що перші дві складові правої частини формули є абсолютно однаковими, і відрізняються вони тільки коефіцієнтом при квадратичному члені, що характеризує вплив явища процесії на рух точки середнього екліптичного Сонця по екліптиці, і на рух точки середнього екваторіального Сонця по екватору. Таким чином, отримана теоретично фіктивна точка небесної сфери – середнє екваторіальне Сонце забезпечує рівномірну зміну годинного кута цієї точки і може слугувати точкою відліку стабільних одиниць часу у випадку, якщо буде забезпечено рівномірне видиме обертання небесної сфери.