Билет №10

Теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения первого порядка, разрешенного относительно производной.

Теорема. Существования и единственности решения дифференциального уравнения первого порядка, разрешённого относительно производной. Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка, разрешённое относительно производной: dy/dx=f(x,y) (2). Предположим, что f(x,y) непрерывна по обоим аргументам в некоторой односвязной области , содержащей начальные значения (x₀,y₀), т.е. точку М(х₀,у₀).Всегда можно выбрать прямоугольник D с центром в точке .М(х₀,у₀), целиком лежащей в G, с шириной 2а и высотой 2b. Далее всегда будем рассматривать прямоугольник D: . Докажем следующую важную теорему. Теорема (Коши). Пусть 1). Функция f(x,y) непрерывна по обоим аргументам в прямоугольнике D: , удовлетворяет в нём условию Липшица относительно у, т.е. , причём постоянная N не зависит от х. Тогда существует единственное решение уравнения (2) y=(x), удовлетворяющее начальному условию (х₀)=у₀ (3) и определённое при . Постоянная h будет определена в ходе доказательства. Перед доказательством теоремы дадим некоторые пояснения и сформулируем несколько предложений. Определение. Говорят, что функция f(x) удовлетворяет на отрезке [a,b] условию Липшица, если N>0, что для x₁,x₂[a,b]: |f (x₁)-f (x₂)|N|x₁-x₂|. Геометрически это обозначает, что тангенс угла наклона секущей по модулю не превышает числа N: |tan|N. Значит, кривая достаточно плавно меняется на отрезке [a,b]. Заметим, что входящее в посылку теоремы условие Липшица можно заменить более сильным. Предположим, что в прямоугольнике D существует ограниченная частная производная функции f(x,y): |f(x,y)/y|N. Тогда по формуле конечных приращений Лагранжа f(x,y₁)- f(x,y₂)=(f(x,y₂+ (y₁-y₂))/y)(y₁-y₂) (0<<1), и поэтому |f(x,y₁)-f(x,y₂)|N|y₁-y₂|. Сформулированная теорема носит локальный характер. Условие непрерывности f(x,y) обеспечивает существование решения (теорема Пеано), условие Липшица обеспечивает не только существование решения, но и его единственность. Заметим, что оба условия являются достаточными, но не обходимыми. Предложение1. Дифференциальное уравнение (2) вместе с начальным условием (3) эквивалентно интегральному уравнению (4). Доказательство: пусть функция y=(x) удовлетворяет уравнению (2) (5) и начальному условию (3): (х₀)=у₀. Интегрируя тождество (5) в пределах от х₀ до х, имеем: или . Тогда, в силу (3) (6). Значит, функция y=(x) есть и решение интегрального уравнения (4).  Обратно, пусть у=(х) удовлетворяет интегральному уравнению (4). Тогда имеет место тождество (6). Полагая в нём х=х₀, получаем (х₀)=у₀ (начальное условие). Дифференцируя (6) по х, находим: ’(x)f(x,(x)). Предложение 2. Определение. Закон, по которому каждой функции  из некоторого класса ставится в соответствие функция  некоторого (другого) класса. Называется оператором A. = A. Над функцией (х), определённой и непрерывной на отрезке |x-x₀|a с областью изменения |(x)-y₀|b, т.е. класса С_а, проделаем операцию , которая в указанном прямоугольнике D имеет смысл. В результате получим новую функцию A = . На языке введённого оператора решением интегрального уравнения (4) будет функция, которая удовлетворяет равенству (см.(6)) = A. В этом случае говорят, что решением дифференциального уравнения (2) является неподвижная точка оператора A. Предложение3. Нормой функции (х) назовём ||(x)||=max|(x)| где |x-x₀|a. Две функции (х) и (х) из класса С_а равны, если ||(x)-(х)||=0.

Доказательство: Сузим класс функций (х) так, чтобы функции A принадлежали тому же классу. Дело в том, что функция (х)= A(х) будет непрерывна, дифференцируема, но условие |(x)-y0|b может не выполняться. Уменьшим интервал изменения |x-x0| так, чтобы |(x)-y0|b. Новый прямоугольник {|x-x0|h, |y-y0|b} обозначим через Dh. Выберем число h таким образом, чтобы выполнялись условия: а) | A-y0|b для х: |x-x0|h; б) для (х), (х) класса Сh (определённых и непрерывных на отрезке |x-x0|h) || A - A||K||-|| (1), где К – некоторое число (0<K<1). Оператор, удовлетворяющий условию (1), называется сжимающим. Оценим величину в левой части неравенства а). В силу непрерывности f(x,y) на Dh - M>0: (x,y)Dh: |f(x,y)|M, и мы имеем следующую цепочку неравенств: | A-y0|=   b. Отсюда, hb/M и должно выполняться ha. Из условия б) имеем: | A - A| =  | -f(x,(x))|dx|[по условию Липшица]N . Поскольку это неравенство справедливо для х: |x-x0|h, то и || A- A||Nh ||-|| Выберем h из условия Nh<1, т.е. h<1/N. Итак, будем считать в дальнейшем, что h удовлетворяет одновременно трем условиям: hb/M, ha, h<1/N (2). Теперь можно взять число К такое, что Nh<K<1. Применим далее для доказательства метод последовательных приближений. Будем строить последовательные приближения к решению как 0=у0; 1= A0; 2= A1;…;n= An-1;…,где . Докажем, что построенная нами функциональная последовательность {n(x)} равномерно сходится на отрезке |x-x0|h. Определение Функциональная последовательность {n(x)} называется равномерно сходящейся к функции (х) на отрезке |x-x0|h, если: >0 N=N(): n>N, x:|x-x0|h: |n(x)-(x)|<. Заменим вопрос равномерной сходимости функциональной последовательности вопросом равномерной сходимости эквивалентного ей функционального ряда: 0+(1-0)+(2-1)+…+(n-n-1)+…=0+ (3). В самом деле. Сумма первых n членов построенного ряда (n-я частичная сумма) равна: Sn(x)=n(x). Поэтому вопрос существования предела Sn(x) при n(сходимости ряда) эквивалентен сходимости последовательности {n(x)}. В то же время, для проверки равномерной сходимости ряда существует достаточный признак Вейерштрасса: Функциональный ряд равномерно сходится на отрезке |x-x0|h, если |Un(x)|an для nN и x:|x-x0|h, и при этом числовой (мажорирующий) ряд сходится. Оценим по норме члены нашего функционального ряда. ||2-1||=|| A1- A0||K||1-0||=K|| A0-y0||Kb; ||3-2||=|| A2- A1||K||2-1||K2b;…;||n+1-n||Knb. Поскольку |n+1-n|||n+1-n||Knb, то члены функционального ряда (3) не превосходят членов числового ряда b+bK+bK2+…+bKn+…=b (4). Числовой ряд (4) сходится, поскольку он представляет собой бесконечно убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем К<1. Тогда по признаку Вейерштрасса функциональный ряд (3) сходится равномерно. Воспользуемся теперь свойством равномерно сходящегося функционального ряда: сумма этого ряда является непрерывной функцией на отрезке равномерной сходимости: |x-x0|h. Таким образом, и ряд (3) и последовательность {n(x)} сходятся к одной и той же непрерывной на отрезке |x-x0|h функции (х). Поскольку |n-y0|b, то, переходя в этом неравенстве к пределу , имеем: |(x)-y0|b, т.е. (х)Сh. Теперь надо доказать, что полученная функция (x) является решением интегрального уравнения . Оценим || A- An||: || A- An||K||-n||0 (n). Следовательно, lim An= A  при n. Переходя в соотношении n= An-1 к пределу при n, имеем = A. Таким образом, функция (х) является решением интегрального уравнения на отрезке |x-x0|h, т.е. решением исходного дифференциального уравнения. Существование решения доказано. Докажем теперь единственность решения. Предположим, что существуют два решения дифференциального уравнения у=(х), r1<x<r2 и у=(х), s1<x<s2, удовлетворяющие одним и тем же начальным условиям: (х0)=у0, (х0)=у0, причём (х)(х). Покажем, что в общей части эти решения совпадают. Докажем, прежде всего, что эти решения совпадают на отрезке |x-x0|h, где: ha, hb/M, h<1/N, [x0-h,x0+h]((r1,r2)(s1,s2)). Поскольку (х) и (х) – решения интегрального уравнения, то: = A, = A. Поэтому, ||-||=|| A- A||K||-||, (0<K<1). Этому неравенству можно удовлетворить лишь при ||-||=0. Отсюда (х)(х) при |x-x0|h. Обозначим за х1 такую точку х1>x0, что для всех x0<xx1: (x)(x), а для x>x1: (x)(x). Например, х1=х0+h. Тогда точку (х1,(х1)) можно принять за начальную, с центром в этой точке построить прямоугольник D1, для него найти h1, которое фигурирует в теореме существования. В результате, по доказанному ранее (х)(х) для |x-x1|h1 и т.д. В итоге, в области пересечения интервалов (r1,r2) и (s1,s2) решения совпадают. Значит, решение единственно.