Билет №2

Геометрическая интерпретация дифференциального уравнения первого порядка, разрешенного относительно производной. Интегральные кривые. Поле направлений. Метод изоклин.

Рассмотрим дифференциальное уравнение вида dy/dx = f(x,y), где f(x,y) определена в некоторой двумерной области GR². Частное решение y = (x) обращает уравнение в тождество: d(x)/dx  f(x,(x)) и удовлетворяет начальным условиям (x₀) = y₀. При этом (x₀, y₀)  G. На плоскости y = (x) представляет кривую, проходящую через т. M₀(x₀, y₀). Эта кривая называется интегральной кривой. По нашему определению, это – единственная кривая. Множество всех интегральных кривых соответствует общему решению уравнения. Геометрически ясно, что оно зависит от одного параметра – ординаты начальной точки. Из геометрического смысла производной следует, что тангенс угла наклона касательной к интегральной кривой в т. x₀ равен значению функции f(x₀, y₀): f(x₀, y₀) = d(x)/dx (x=x₀). Таким образом, правая часть f(x,y) дифференциального уравнения задает в области G поле направлений. Будем отмечать это отрезками в области G (а не векторами, поскольку направление определено с точностью до ). Тогда интегральной кривой будет кривая, касательная к которой совпадает с направлением поля в каждой своей точке. Определение. Изоклиной называется кривая, в каждой точке которой поле имеет одно и то же фиксированное направление. Метод изоклин – способ построения интегральных кривых.

Билет №3

Простейшие дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Приводимые к ним. Особые решения.

1. Простейшие дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными, особые решения.

Простейшим диф. уравнением с разделяющимися переменными является уравнение:

dy/dx=f(x) (5). Предполагается, что f(x) непрерывна в интервале (a,b). Все решения этого уравнения даются формулой:y=  f(x)dx + c (6). Переобозначив с, его удобно записать в виде:

y= f()d + c. Если задано начальное условие: y=y₀ при x= x_0, то с= y₀, и получаем частное решение: y= y₀  f()d (7). В силу непрерывности f(x) входящий в (7) интеграл существует. Все решения уравнения (5) расположены в полосе a<x<b, -<y<, а интегральные кривые получают из (7) сдвигом параллельно оси OY.

Другим видом уравнения с разделяющимися переменными является: dy/dx=f(y) (8), где f(y) непрерывна в интервале c<y<d. Будем искать решения уравнения (8) в виде обратной функции к решению y=(x), т. е. В виде x=(y), где (y)=^(-1)(y). Для этого запишем уравнение (8) в эквивалентной форме: dx/dy=1/f(y) (9). Это можно сделать, если f(y)<>0. Пусть  и  - два последних нуля функции f(y), т.е. f() = f() = 0 и при любых y(,): f(y)<>0. Тогда в интервале (,) уравнения (8) и (9) равноправны. В уравнение (9) правая часть в интервале (,) непрерывна и следовательно в соответствии с (6): x=(dy/ f(y)) + c (10). Здесь все интегральные кривые расположены в полосе (,) и получаются одна из другой сдвигом по оси OX. Предположим, что при y= интеграл dy/ f(y) сходится. Тогда интегральная кривая касается лини y=. Если, наоборот, при y= интеграл dy/ f(y) расходится, и 1/ f() = -. Тогда интегральная кривая асимптотически приближается к линии y=. Затем. Что формула (10) определяет y как однозначную функцию x. Действительно, поскольку функция f(y) не меняет знак в (,), то и не меняет знак и производная dx/dy, а значит функция x = (y) имеет однозначную обратную функцию y = (x) – решение уравнения (8). Помимо решения (10) прямые y= и y= являются так же решениями уравнения (8): d/dx  f(), d/dx  f(). Однако. Через любую точку прямой y= проходит одна интегральная кривая, а через любую точку прямой y= две интегральные кривые уравнения (8). Такие решения носят название особых. В нашем случае y= - особое решение. Таким образом, общее решение дифференциального уравнения (8) не выражается одной формулой: x=(dy/ f(y)) + c, y=, y=. Особое решение возникает тогда, когда через каждую точку соответствующей интегральной кривой проходит (касается) другая интегральная кривая.

2. Приводимые к ним:

Рассмотрим уравнение dy/dx=f(ax+by), a,b  R (a,b<>0). Введем новую функцию z=ax+by. Тогда, dz=adx + bdy и (dz – abx)/bdx = f(z) или dz=(a + bf(z))dx. Таким образом, пришли к уравнению с разделяющимися переменными.

Определение: функция f (x₁, x₂,…, x_n) называется однородной, если для произвольной действительного параметра t: f (tx₁, tx₂,…, tx_n) = t^k f (x₁, x₂,…, x_n), где k – некоторое натуральное число, показывающее “степень” однородной функции (её порядок).

Определение: Если правая часть дифференциального уравнения является однородной функцией нулевого порядка, то дифференциальное уравнение называется однородным:

dy/dx = (y/x). Это уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными подстановкой y/x = u, где u – новая функция. Тогда y=ux  dy/dx = u+x(du/dx) = (u). Следовательно: x(du/dx) = (u) – u. Допустим, что u₁, u₂,….-корни уравнения (u) – u = 0. Тогда u = u₁ – есть решение полученного уравнения. Значит, прямые y = u_ix, проходящее через начало координат, являются интегральными кривыми. Считая u <> u_i , находим: du/((u) - u) = dx/x или (du/((u) - u)) = ln|x| + ln|c| = ln|cx|. Отсюда, находим решение u = (cx), а по нему общее решение исходного однородного уравнения y = x(cx).

Билет №4

Однородные уравнения и приводимые к ним.

1. Однородные уравнения.

Определение: функция f (x₁, x₂,…, x_n) называется однородной, если для произвольной действительного параметра t: f (tx₁, tx₂,…, tx_n) = t^k f (x₁, x₂,…, x_n), где k – некоторое натуральное число, показывающее “степень” однородной функции (её порядок).

Определение: Если правая часть дифференциального уравнения является однородной функцией нулевого порядка, то дифференциальное уравнение называется однородным:

dy/dx = (y/x). Это уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными подстановкой y/x = u, где u – новая функция. Тогда y=ux  dy/dx = u+x(du/dx) = (u). Следовательно: x(du/dx) = (u) – u. Допустим, что u₁, u₂,….-корни уравнения (u) – u = 0. Тогда u = u₁ – есть решение полученного уравнения. Значит, прямые y = u_ix, проходящее через начало координат, являются интегральными кривыми. Считая u <> u_i , находим: du/((u) - u) = dx/x или

(du/((u) - u)) = ln|x| + ln|c| = ln|cx|. Отсюда, находим решение u = (cx), а по нему общее решение исходного однородного уравнения y = x(cx).

2. Приводимые к ним.

Отметим основные способы сведения уравнений к однородным:

А) заменой функции y = z^. Степень  подбирают так, чтобы уравнение стало однородным,

Б) уравнение: dy/dx = f((ax + by + c)/(a₁x + b₁y + c₁)) приводится к однородному одновременной заменой и аргумента и функции: x = +, y = +, где константы  и  выбираются специальным образом. В силу произведенной замены: dx = d, dy = d, ax + by + c = (a + b) + a + b + c, a₁x + b₁y + c₁ = (a₁ + b₁) + a₁ + b₁ + c₁. Слагаемые, стоящие вне круглых скобок, полагаются равными нулю. Отсюда получается система уравнений для определения  и : ax + by + c = 0; a₁x + b₁y + c₁ = 0 – система из двух уравнений. Данная система имеет единственное решение, если

 = Тогда исходное дифференциальное уравнение перейдет в однородное: d/d = f((a + b)/(a₁ + b₁)) = (/). Если  = 0, т.е. a₁/a = b₁/b = , то: dy/dx = f((ax + by + c)/((ax + by) + c₁)), и оно приводится к уравнению с разделяющимися переменными заменой z = ax + by.