5. Нахождение сокращенной днф по таблице истинности (карты Карно)

Доказано, что любую функцию (кроме тождественного нуля) можно представить в виде СДНФ. На практике часто бывает удобно получить (вместо СДНФ) как можно более “короткую” ДНФ. Словам “короткая ДНФ” можно придать разный смысл, а именно:

ДНФ называется минимальной, если она содержит наименьшее число букв (разумеется, среди всех ДНФ ей равносильных); ДНФ называется кратчайшей, если она содержит минимальное число знаков дизъюнкции  ; тупиковой, если уничтожение одной или нескольких букв в ней приводит к неравной ДНФ и сокращенной ДНФ, если ее упрощение проведено с помощью правила Блейка.

На практике наиболее важной представляется нахождение минимальной ДНФ, но алгоритм ее нахождения по существу является вариантом перебора всех равносильных ДНФ. Алгоритмически проще всего находить сокращенную ДНФ (эти алгоритмы были даны в разд. 3). Заметим, что если функция п переменных заданасвоей таблицей истинности, то правило Блейка имеет простой геометрический смысл. Именно, если все возможные наборы переменных представить себе как вершинып-мерного куба со стороной равной 1 (всего вершин будет 2^п) в декартовой системе координат, то надо отметить те вершины, на которых значение функции равно 1, и если какие-то из этих единиц лежат на “прямой”, “плоскости” или “гиперплоскости” в п-мерном пространстве, то в сокращенную ДНФ будут входить “уравнения” этих прямых или гиперплоскостей по известному правилу: если в это уравнение входило составной частью х = 0, то в сокращенную ДНФ входит  , если х = 1, то просто х.Разумеется, геометрически все это изобразить можно только при п = 2, 3.

Карты Карно позволяют эти геометрические идеи использовать при п = 3, 4, 5, для функций, заданных своей таблицей истинности. При больших п карты Карнопрактически не используются. Рассмотрим отдельно (и более подробно) случаи п = 3, 4.

Составляем таблицу истинности для данной конкретной функции п = 3 в виде таблицы, приведенной в примере 5.1. (Заметим, что для х₁ и х₂ естественный порядок набора переменных здесь нарушен. Это сделано для того, чтобы при переходе от данного к следующему набору переменных в этом наборе менялась только одна цифра). Прямая содержит 2 вершины, плоскость – 4, гиперплоскости – 8, 16 и т. д. вершин, поэтому объединять можно 2 рядом стоящие единицы или 4, 8, 16 и т. д. Карты Карно соединяются “по кругу”, т. е. наборы (10) и (00) считаются рядом стоящими.

Пример 5.1. Пусть задана функция:

Видно, ее СДНФ содержит (по числу 1) 6 дизъюнктных слагаемых, но ее сокращенная ДНФ содержит (после объединения единиц) всего 2 буквы

f = x₁x₂

Пример 5.2. Следующий пример показывает, “как соединять единицы по кругу”.

Здесь сокращенная ДНФ содержит 2 слагаемых (СДНФ содержала бы 5):

Пример 5.3. Пример показывает использование карт Карно при п = 4.

Здесь сокращенная ДНФ содержит 4 слагаемых (СДНФ содержит 8):

При п = 5 использование карт Карно является несколько более сложным и здесь не приводится.