Линейные неоднородные уравнения.

Ранее было показано (см. лекцию 19), что сумма решений линейного неоднородного уравнения L[y] = f(x) и соответствующего однородного уравнения L[y] = 0 является решением неоднородного уравнения. Используя это свойство, можно доказать следующую теорему:

Теорема 21.1. Общее решение на отрезке [a,b] уравнения L[y] = f(x) с непрерывными на [a,b] коэффициентами p_i(x) и правой частью f(x) равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и какого-либо частного решения неоднородного уравнения.

Доказательство.

Требуется доказать, что для любых начальных условий , можно подобрать такие значения постоянных c_i, чтобы функция

, (21.5)

где y_i – линейно независимые частные решения однородного уравнения L[y] = 0, а - частное решение рассматриваемого неоднородного уравнения, была решением этого неоднородного уравнения с заданными начальными условиями. Это требование приводит нас к системе уравнений относительно неизвестных с₁, с₂,…, с_п:

, (21.6)

главным определителем которой является определитель Вронского , как известно, не равный нулю. Поэтому система (21.6) имеет единственное решение, что и доказывает утверждение теоремы.

Замечание. Таким образом, при найденном общем решении однородного уравнения решение неоднородного уравнения сводится к подбору его частного решения.

Лекция 22.