Точки покоя.

Определение 24.2. Точка фазовой плоскости системы (24.6) называется обыкновенной точкой, если и дифференцируемы и не обращаются одновременно в нуль; через каждую обыкновенную точку проходит одна фазовая траектория. Точка называется особой точкой, если и .

Замечание. Особые точки классифицируются по характеру фазовых траекторий в их окрестности.

Исследование на устойчивость некоторого решения системы (24.1) можно свести к исследованию тривиального решения – точки покоя, расположенной в начале координат, преобразуя систему к новым переменным: - отклонениям прежних неизвестных от решения, исследуемого на устойчивость. В новых переменных система (24.1) принимает вид:

, (24.8)

Простейшие типы точек покоя.

Исследуем расположение траекторий в окрестности точки покоя х = 0, у = 0 системы двух линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами:

, где . (24.9)

Характеристическое уравнение при этом имеет вид:

.

Рассмотрим различные наборы корней этого уравнения:

1. Содержание

   • Лекция 19.
   • Лекция 20.
   • Линейные неоднородные уравнения.
   • Методы нахождения частного решения неоднородного линейного дифференциального уравнения (метод вариации произвольных постоянных, метод неопределенных коэффициентов и принцип суперпозиции).
   • Фазовая плоскость.
   • Точки покоя.
   • K1 и k2 действительны и различны. Тогда общее решение системы (24.9) можно задать так: . При этом возможны следующие случаи: