2. Закони розподілу випадкової величини
Законом розподілу випадкової величини називається співвідношення, що встановлює зв'язок між можливими значеннями випадкової величини і відповідними їм ймовірностями.
Найпростішою формою такого закону є таблиця, в якій перераховані можливі значення випадкової величини та відповідні їм ймовірності (табл. 1.3). Таблиця 1.3 - Значення випадкової величини і відповідні їм ймовірності.
Щоб надати ряду розподілу наочний вигляд, будують його графічне зображення у вигляді гістограми, полігону, кумуляти і огіви.
Табличний розподіл можливих значень випадкової величини і відповідних їй ймовірностей, графічне зображення кривих розподілу та аналітичний опис вказаної залежності є форми закону розподілу.
Криві розподілу можуть бути самої різної форми. Проте серед них слід виділити так звані одновершинні криві, які часто зустрічаються.
В економічних дослідженнях симетричні розподіли зустрічаються рідко. Набагато частіше вершина кривої знаходиться не в центрі, а дещо зміщена. Зустрічається також двопіковий розподіл. Його наявність свідчить про те, що розглядається неоднорідна сукупність.
Теоретичними розподілами в економічних дослідженнях головним чином є закони Пуассона, показовий, біномінальний, Ст’юдента, Х'и - квадрат, Лапласа, нормальний та ін. Останній реалізується для випадкових величин, які формуються під сумарною дією багатьох незалежних між собою дрібних причин, дія кожної з яких мала в порівнянні із загальним результатом.
У економіко-математичному моделюванні нормальний розподіл відіграє роль стандарту, з яким порівнюються інші розподіли.
Формула нормальної кривої має наступний вигляд:
(1.15)
Повертаючись до кривих розподілу випадкової величини, слід вказати на криву Гаусса - Лапласа, яка має горбоподібний вигляд і симетрично розташовується відносно вертикальної прямої (рис. 1.1). Центр угрупування випадкової величини і форму нормальної кривої визначають числові характеристики X і сх.
При Х= X функція має максимум, який дорівнює
(1.16)
Симетрія кривої Х=Х вважається основною властивістю нормального розподілу: однакові відхилення значення випадкової величини від її середнього в обидві сторони зустрічаються однаково часто. Рис. 1.1. Крива Гаусса - Лапласа
При збереженні своєї загальної форми крива розподілу нормального закону може мати різний ступінь пологості й крутизни залежно від значення ох.
У економіко-математичних дослідженнях, незалежно від розмірності випадкової величини X, може бути визначена відносна частота.
По правому боці Зо - це величина абсолютного відхилення випадкової величини від середнього по вибірці менше ± З ох з вірогідністю 0,997. Лише 0,3% всього Хі числа спостережень виходить з "трисигмових меж". В інтервалі від Х-ох до Х+ох знаходиться 68,3% спостережень, в інтервалі від Х-2ох до Х+2ох - 95,5% спостережень.
Оскільки площа диференційованої функції нормального розподілу дорівнює одиниці, то зі зростанням ох максимальна ордината нормальної кривої убуває, а сама крива стає більш пологою. Навпаки, з убуванням ох нормальна крива стає більш гостроверхою.
При Х=0 і ух=1 нормальну криву називають нормованою, яку кількісно можна описати:
(1.17)
Величина табульована і може бути визначена з відповідних математико-статистичних таблиць (диференціальна функція Лапласа). У цих таблицях наведені функції f(х), відповідні позитивним значеннях X. Для від’ємних X користуються тими ж таблицями, оскільки функція f(х) парна, тобтоf(-х)=f(х). У таблиці наводяться значення f(х) для X від 0 до 4 через 0,01.
Для того, щоб можна було користуватися готовими таблицями, потрібно криву нормального розподілу привести до стандартної форми. Стандартизація полягає в переході від випадкової величини X, має математичне очікування X і середньоквадратичне відхилення ох, до допоміжної величини, що називається центрованим і нормованим відхиленням:
(1.18)
Використовуючи відповідні таблиці значень, будують таблицю стандартизованого розподілу вірогідності.
Якщо на вісь абсцис нанести значення /, а на вісь ординат ймовірність Р(і), то графічне зображення дає нормальну криву. Фізичне значення ? означає, на скільки середньоквадратичних відхилень ох змінюється значення випадкової величини від її середнього значення X .
В економіко-математичному моделюванні економічних процесів необхідно формулювати статистичні гіпотези та перевіряти їх на достовірність.
Статистичні гіпотези та їх перевірка
При вибіркових обстеженнях допускаються різного роду похибки, при цьому розрізняють грубі, систематичні й випадкові помилки.
Задача
1. С семи полей, на которых было собрано пшеницы соответственно а;=(350; 300; 250; 300; 250; 200; 350), ее нужно перевезти на десять элеваторов с затратами Ьр(200; 150; 100; 150; 150; 100; 200; 250; 350; 350). Цены перевозки с каждого поля к элеватору указаны в матрице: