2. Случайные величины. Закон распределения и числовые характеристики дискретных случайных величин.

Каждому элементарному событию Х из некоторого множества событий можно поставить в соответствие то или иное значение х, которое будет являться случайной величиной. Примером случайной величины могут являться: количество студентов на лекции, продолжительность жизни человека, ошибка при измерении той или иной величины, количество больных на приеме у врача.

Случайные величины служат основным объектом теории вероятности и математической статистики. Различают два основных типа случайных величин: дискретные и непрерывные.

Дискретной (прерывной) называют случайную величину, принимающую на заданном интервале конечное или бесконечное множество отдельных значений, элементы которого могут быть занумерованы в каком-либо порядке и записаны в последовательности:х₁, х₂, …, х_п.

Примером дискретной случайной величины, принимающей бесчисленное множество значений на конечном интервале, может быть множество всех рациональных чисел на интервале ]0,1[ , число букв на произвольной странице текста., число родившихся мальчиков в различные месяцы в определенном регионе.

Дискретная случайная величина считается заданной, если указаны все ее возможные значения и соответствующие им вероятности. Обозначим дискретную случайную величину X, а ее значениех₁, х₂, х₃,,…, соответствующие им вероятности Р(х₁) = Р₁; Р(х₂) = Р₂и т.д.. Законом распределения дискретной случайной величины называют всякое соответствие, устанавливающее связь между ее возможными значениями и их вероятностями. Закон распределения может иметь различные формы. Он может быть задан в виде таблицы, которую также называют рядом распределения:

Так как все возможные случайные величины образуют полную группу событий ( представляют полную систему), то сумма их вероятностей равна единице:.

Закон распределения полностью описывает дискретную случайную величину. Во многих случаях наряду с законом или вместо него информацию о случайных величинах могут дать числовые параметры, получившие название числовых характеристик дискретных случайных величин.

Рассмотрим наиболее употребляемые из них:

1. Математическое ожидание дискретной случайной величины х– это сумма произведений всех возможных значений величиныхна вероятности этих значений:.

Оно соответствует значению случайной величины, около которого группируются все его возможные значения.

При большом числе измерений среднее арифметическое случайной величины приближается к ее математическому ожиданию. Если произведено nнезависимых испытаний, в которых случайная величина принимает значениех₁–m₁раз,х₂–m₂раз …х_n–m_nраз, то:

m₁₊ m₂+…+ m_n = n.

Среднее арифметическое всех значений случайной величины:

;

Следовательно, равенство тем точнее, чем больше число наблюдений nи при большом числеnиспытанийстремится к Р_i.

2. Дисперсией дискретной случайной величины х называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания. Слово «дисперсия» означает «рассеяние». Дисперсия обозначается D(X) илиили. По определению:

=(X) = М[(X- μ)²] =(х_i – μ)² P_i .

3. Средним квадратичным отклонением называется корень квадратный из дисперсии:.

Эта величина вводится для оценки рассеяния случайной величины вокруг ее математического ожидания. Она имеет размерность, совпадающую с размерностью случайной величины X.