3. Непрерывные случайные величины. Нормальный закон распределения (закон Гаусса).

Для описания реальных величин, зависящих от случая, дискретных случайных величин недостаточно. Действительно, таким величинам как температура, давление, размеры физических объектов, длительность физических процессов неестественно приписывать дискретное множество возможных значений. Естественно считать, что их возможные значения в принципе могут быть любыми числами в некоторых пределах, т.е. являться непрерывными случайными величинами.

Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного интервала. Число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно. Непрерывную случайную величину нельзя описать законом распределения как дискретную в виде таблицы. Однако различные области возможных ее значений все же не являются одинаково вероятными, и для непрерывной случайной величины существует «распределение вероятностей», хотя не в том смысле, что для дискретной. Для конечной оценки распределения вероятностей удобно пользоваться не вероятностью события Х=х, а вероятностью событияХ ‹х. Под выражениемХ ‹х понимают событие – «случайная величинаХприняла значение, меньшеех».

Функцией распределения случайной величины Xназывается функцияF(х), равная вероятности Р(Х ‹ х) того, что случайная величинаXпринимает значение, меньшеех:F(х) = Р(Х ‹ х) .

Функцию F(х) называют еще «интегральной функцией распределения» или интегральным законом распределения. ФункцияF(х) является одной из форм закона распределения.

Однако в большинстве случаев для описания непрерывных случайных величин при теоретическом их изучении вводят понятие плотности распределения (плотность вероятности), которая равна производной ее интегральной функции f(x) =F'(х). Наиболее часто встречаются величины, распределенные по нормальному закону распределения (закону Гаусса), являющемуся предельным законом, к которому приближаются другие законы распределения.

Случайная величина распределяется по нормальному закону, если плотность вероятности ее имеет вид:

f(x) = ,

где μ– математическое ожидание, - среднее квадратическое отклонение.

График плотности вероятности нормального распределения носит название нормальной кривой распределения или кривой Гаусса (рис.1). В точкех=μфункция имеет максимум:f(μ) =. Форма кривой распределния зависит отσ(рис.2);μ– определяет центр рассеяния, а значит и положение распределения на оси абцисс (рис.3). При этом кривая сохраняет свою форму.

Площадь, ограниченная кривой нормального распределения всегда равна единице, поэтому при увеличенииσкривая становится пологой.