6. Теорема Дирихле

Пусть фу-ия y=f(x) на интервале [-П,П] имеет конечное число экстремумов и является непрерывной за исключением конечного числа точек разрыва 1-го рода(Точек конечного скачка функции). Тогда ряд Фурье этой фу-ии сходится в каждой точке интервала [-П,П] и его сумма S(x) удовлетворяет условиям:

1. В каждой точке непрерывности фу-ии ряд Фурье сходится к значению функции в этой точке S(x)=F(x).

2. В каждой точке конечного разрыва функции сумма ряда Фурье = полусумме односторонних пределов фу-ии в этих точках S(x)=1/2[f(x0-0)+f(x0+0)].

3. В конечных точках интервалов периодичности фу-ии сумма ряда Фурье также равна среднему арифметическому соответствующих односторонних пределов S(x)=1/2[f(-П-0)+f(П+0)].

Теорема 1 (Дирихле): Пусть на [-l;l] функция f(x) удовлетворяет двум условиям, которые называются условиями Дирихле:

1.Функция Дирихле непрерывна или имеет конечное число точек разрыва первого рода

2.Функция монотонна или имеет конечное число точек экстремумов.

Тогда тригонометрический ряд Фурье функции f(x) сходится во всех точках отрезка и его суммой будет S(x), которая вычисляется по следующей формуле