5. Степенной ряд.

df: (определение)Степенным рядом по степени называют функциональный ряд вида , (1) где , а- коэфф. степенного ряда. Если , то (2)

Ряд называется степенным рядом по степени х.

Сходимость степенных рядов.

th (теорема Абеля): Если степенной ряд сходится при , то он сходится абсолютно для всех х таких, что: .

Док-во: - сходится по условию. такое, что все члены ряда по абс. величине меньше М. Ряд перепишем в виде: .

Рассмотрим соотв. ряд из абс. величин: (т.к. по модулю , ) данный ряд будет сходиться, если .

Следствие: Если степенной ряд расходится в точке , то он расходится .

Док-во: пусть данный ряд сходится в какой-то точке , значит по теореме Абеля он должен сходиться в , но это противоречие.

Если , в которой ряд сходится, то сущ.интервал внутри, симметричный отн. начала координат, в котором ряд сх-ся. Аналогично с расх-ю. .

Число R называют радиусом сходимости степенного ряда (2). Интервал (-R;R) называют интервалом сходимости. Если х=0, то инт. вырождается в точку. Если ряд (2) не имеет точек расх-ти, то .

На концах интервала сходимости, т.е. , вопрос сходимости решается индивидуально для каждого ряда.

Замечание: Для степенных рядов вида (1) все остается в силе с той лишь разницей, что центр интервала сходимости будет .

Поскольку внутри области сходимости ряд (2) сходится абсолютно, то его ряд модулей (3) имеет тот же радиус сходимости.

Для определения области сходимости ряда модулей (3), который является знакоположительным, воспользуемся признаком Даламбера:

(5).

Ряд (2) сходится абсолютно при и расходится при радиус сходимости .

Для нахождения интервала абсолютной сходимости можно воспользоваться также признаком Коши.