Определитель матрицы.
Определи́тель (или детермина́нт) — одно из основных понятий линейной алгебры. Определитель матрицы является многочленом от элементов квадратной матрицы (то есть такой, у которой количество строк и столбцов равно). В общем случае матрица может быть определена над любым коммутативным кольцом, в этом случае определитель будет элементом того же кольца.
Определитель матрицы А обозначается как: det(A), |А| или Δ(A).
Определитель (или детерминант1)) определяется для произвольной квадратной матрицы , и представляет из себя полином от всех ее элементов. Обозначается — либо , либо — в развернутом виде2) —
(матрица ограничивается вертикальными чертами3)). Имея в виду порядок матрицы , о ее определителе говорят как об определителе порядка .
Для :
для :
для :
для формула становится громоздкой.
Главная цель введения понятия определителя: с помощью этой функции устанавливаются условия существования от нескольких переменных; более того, эта функция позволяет компактно записать решение. Определитель имеет также ряд геометрических приложений.
Введем теперь определитель произвольного порядка .
Упорядоченная пара различных натуральных чисел образует инверсию (или нарушение порядка), если . Будем обозначать число инверсий в паре через . Таким образом
Число инверсий в последовательности различных натуральных чисел определяется следующим образом:
П
Пример.
?
Показать, что .
Определителем (или детерминантом) матрицы
называется величина
где сумма распространяется на всевозможные перестановки элементов . В общем случае сумма, определяющая определитель порядка , содержит слагаемых, каждое из которых представляет произведение элементов определителя, взятых по одному из каждой строки определителя и из каждого его столбца (т.е. после того, как в произведение вставляется элемент больше в это же произведение не берется ни одного элемента из -й строки и -го столбца). Знак у произведения определяется по указанному выше правилу и можно доказать, что половина слагаемых в сумме будет иметь положительный знак, а другая половина — отрицательный.