Ранг матрицы
Рангом системы строк (столбцов) матрицы с строк и столбцов называется максимальное число независимых строк (столбцов). Несколько строк (столбцов) называются линейно независимыми, если ни одна из них не выражается линейно через другие. Ранг системы строк всегда равен рангу системы столбцов, и это число называется рангом матрицы.
Ранг матрицы — наивысший из порядков миноров этой матрицы, отличных от нуля.
Ранг матрицы — Размерность образа линейного оператора, которому соответствует матрица.
Обычно ранг матрицы обозначается ( ) или . Оба обозначения пришли к нам из иностранных языков, потому и употребляться могут оба. Последний вариант свойственен для английского языка, в то время как первый — для немецкого, французского и ряда других языков.
Теорема о ранге матрицы. Если ранг матрицы порядка p на n равен r, то все элементы строк (и столбцов) матрицы, не образующие выбранный базисный минор линейно выражаются через соответствующие элементы строк (и столбцов), образующих базисный минор. Что нам дает теорема о ранге матрицы? Если по теореме Кронекера – Капелли мы установили совместность системы, то выбираем любой базисный минор основной матрицы системы (его порядок равен r), и исключаем из системы все уравнения, которые не образуют выбранный базисный минор. Полученная таким образом СЛАУ будет эквивалентна исходной, так как отброшенные уравнения все равно излишни (они согласно теореме о ранге матрицы являются линейной комбинацией оставшихся уравнений). В итоге, после отбрасывания излишних уравнений системы, возможны два случая.
Если число уравнений r в полученной системе будет равно числу неизвестных переменных, то она будет определенной и единственное решение можно будет найти методом Крамера, матричным методом или методом Гаусса. Пример.
Решите систему линейных алгебраических уравнений . Решение. Ранг основной матрицы системы равен двум, так как минор второго порядка отличен от нуля. Ранг расширенной матрицы также равен двум, так как единственный минор третьего порядка равен нулю а рассмотренный выше минор второго порядка отличен от нуля. На основании теоремы Кронекера – Капелли можно утверждать совместность исходной системы линейных уравнений, так какRank(A) = Rank(T) = 2. В качестве базисного минора возьмем . Его образуют коэффициенты первого и второго уравнений: Третье уравнение системы не участвует в образовании базисного минора, поэтому исключим его из системы на основании теоремы о ранге матрицы: Так мы получили элементарную систему линейных алгебраических уравнений. Решим ее методом Крамера: Ответ: x1 = 1, x2 = 2.
Теорема 1. Строки и столбцы матрицы, элементы которых входят в базисный минор, линейно независимы. Любая строка (столбец) матрицы является линейной комбинацией этих строк (столбцов).
Теорема 2. (теорема Кронекера-Капелли). Система (2.2) совместна тогда и только тогда, если ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы.
Теорема 3. Любое решение однородной линейной системы (4.2) является линейной комбинацией фундаментальной системы ее решений.
Таким образом, любое решение системы (4.2) имеет вид:
, где - фундаментальная система решений.