2.1. Формальные модели

Предмет изучения в этой главе - начала математической, или формальной логики. Математическая логика - это наука, которая занимается анализом суждений и доказательств, используемых человеком для обоснования нового знания, произведенного из установленных фактов. В логике используется специально созданный формализованный язык, подчиняющийся своей системе анализа. Логика исследует схемы рассуждений, которые верны в силу одной их формы, независимо от содержания. Фактически, логика - это множество правил манипулирования формулами, представляющими формы рассуждений. Формальная логика игнорирует смысл, содержание предложений естественного языка, для которых формулы логики являются моделями.

Отвлечение от содержания предложений языка в формальной логике есть результат применения операции абстрагирования к рассуждениям естественного языка. Абстрагирование является основным этапом при построении математической модели, оно широко используется в науке для выборочного исследования некоторых аспектов исследуемой проблемы. Цель абстрагирования - выделение тех аспектов, которые существенны для исследования и решения проблемы и игнорирование тех аспектов, которые несущественны, усложняют проблему, делают анализ менее общим или вообще невозможным.

При научном подходе, на уровне рационального исследования, мы имеем дело не с материальными объектами во всем многообразии их свойств, а с абстракциями от материальных объектов. Реальные объекты и ситуации обычно бесконечно сложны, и абстракция применяется для того, чтобы ограничить эту сложность, дать возможность принимать решения. С помощью абстрагирования человек строит формальные модели самых разнообразных по своей природе понятий, процессов и явлений, сущностей реального мира. Такие формальные модели, будучи построенными, далее допускают анализ и преобразование с помощью формальных же средств: абстракции сами могут быть исследованы с точки зрения их свойств (структура, элемент, отношение, и т.д.), и при таком анализе исследователь может отвлечься от окружающей реальности, оставаясь в рамках построенной им знаковой системы. Формальные модели позволяют выразить некоторые свойства объекта в точных терминах математических определений и аксиом так, что затем можно “вывести” свойства этой модели, которые объяснят известные и предскажут новые свойства исследуемой реальной сущности. Именно на основе научного подхода к решению инженерных проблем получено бессчетное число впечатляющих результатов в технике, в связи с чем давно укоренилась поговорка "Нет ничего более практичного, чем хорошая теория". Получая в результате анализа моделей какие-либо выводы, исследователь пытается применить эти результаты к той области реального мира, отображением которой является модель, построенная в результате абстракции. Поскольку все абстракции неполны и неточны, можно говорить только о приближенном соответствии с реальностью тех результатов, которые получены исследованием на моделях. Соответствие законов движения, связей и отношений объектов модели соответствующим элементам реального мира называется адекватностью, и степень адекватности определяет, применимы ли такие результаты к конкретной проблеме в реальном мире. Часто адекватность модели определяется рядом условий и ограничений на сущности реального мира, и для того, чтобы использовать результаты анализа, полученные на модели, необходимо тщательно проверять эти ограничения и условия (или обеспечить их выполнение).

Рис.2.1 Соотношение моделей и реальности

В предыдущей главе стояла проблема построения конечных функциональных преобразователей в реальном мире. Эта проблема была решена полностью в соответствии с рис.2.1. Вместо того, чтобы непосредственно начать строить эти преобразователи из реальных объектов (т.е. использовать чисто эмпирический подход, или подход "тыка"), мы представили эту проблему как задачу построения двоичных функций, реализующих требуемое функциональное отображение (т.е. сначала выполнили абстрагирование). Мы затем использовали систематический метод решения этой математической задачи (преобразование модели). На следующем этапе мы также, рассмотрели, как произвольные двоичные функции могут быть реализованы из электронных переключателей и транзисторов (фактически, мы занимались вопросами конкретизации, реализации абстрактной модели). Адекватность реализации модели логических функций обеспечивается в этой конкретной проблеме поддержанием в определенных границах напряжений и токов в электронных переключателях, определенных временных ограничений на работу переключателей и т. д.. Всеми этими средствами достигается коммутативность диаграммы рис.2.1 в решении этих проблем (коммутативность этой диаграммы мы понимаем здесь как возможность получения одного и того же результата из исходных объектов двумя путями: первый - это непосредственным выполнением преобразований объектов в мире вещей, второй - это выполнением операции “абстрагирование” и переходом в мир моделей, затем выполнением операции “преобразование моделей” и, наконец, выполнением операции “конкретизация” с возвращением в мир реальных объектов).

Отметим, что на рис.2.1 ясно видны различия в задачах фундаментальных и инженерных наук:

• Теоретики занимаются внутренними проблемами теорий: разработкой абстрактных моделей, разработкой методов их преобразования и анализа. Они интересуются проблемами, лежащими на рис.2.1 в области «мира идей». В значительно меньшей степени их интересуют вопросы абстрагирования и адекватности моделей, их интерпретация в различных приложениях.

• Перед инженерами стоит задача построения и анализа реальных объектов, но вместо решения ее непосредственно, они сначала абстрагируются от всех деталей реальности, которые несущественны для решения поставленной проблемы, выбирают модель, которая отражает существенные детали, пользуются разработанными теоретиками методами преобразования и анализа моделей, после чего решают исходную задачу с помощью интерпретации и применения этих теоретических результатов в реальном мире. Для инженеров проблема проверки и обеспечения адекватности используемых моделей является определяющей. Важной является также проблема выбора среди множества формальных моделей такой модели, в рамках которой исходная проблема имеет решение. Чаще всего рамки модели накладывают существенные ограничения на применимость результатов этого подхода в реальном мире. На рис.2.1 область их главных интересов – это проблемы связи мира реального и мира идей, т.е. вопросы адекватного использования существующих моделей для решения конкретных задач практики.

Формальная математическая логика решает проблемы проверки правильности рассуждений в естественном языке (реальный мир), строя свои модели и правила их преобразования. Для этого логика вводит свои языки - систему формальных обозначений (формулы) и правила их преобразования. Поэтому логику можно рассматривать как множество правил манипулирования формулами, описывающими утверждения естественного языка. В результате конкретизации (интерпретации) результатов и выводов формальной логики (новых полученных формул) мы получаем новые предложения естественного языка, можем оценить свойства исходных предложений и т.д. Следует ясно понимать, однако, при каких ограничениях выводы, полученные с помощью формализма математической логики, мы можем использовать в реальной жизни.