Решение нелинейных уравнений методом ньютона и комбинированным методом

Метод Ньютона (касательных).Пусть – отрезок, содержащий только один корень уравнения .

В качестве начального приближения к корню выбирается одна из концевых точек отрезка, для которой выполняется условие

Следующее приближение находится по формуле Ньютона:

Вычисления завершаются тогда, когда для найденного значения выполняется условие , значение корня будет равно.

Геометрическая интерпретация – построение касательных на каждом шаге итераций и нахождение их точек пересечения с осью Ох, которые и будут являться приближенным значением корня.

Пример 1: Найти корень уравнения методом касательных с точностью

Выбираем один из найденных отрезков, содержащих только один корень. Для выбранного отрезка находим точку начального приближения.

Для каждого из концов отрезка проверяем условие, обязательно оно будет выполнено только в одной точке и именно ее выбираем. В нашем случае это точка .

В ячейкуА2, В2 (рис. 11) записываем исходные данные. В ячейку А5записываем ссылку на А2. В ячейку В5 формулу метода Ньютона, аргументом будет относительная ссылка А5. Заполнить остальные ячейки самостоятельно.

В А6 записать ссылку на ячейкуВ5.Далее с помощью автозаполнения находим корень.

Рис. 11. Вид экрана для метода Ньютона (касательных)

Комбинированный метод хорд и касательных. Пусть – отрезок, содержащий только один корень уравнения Приближение к корню происходит с двух сторон отрезка, на котором отделен корень уравнения, разными методами.

В качестве начального приближения методом касательных выбирается одна из концевых точек отрезка, для которой выполняется условие , другой конец отрезка при этом приближается методом хорд.

Пусть, например, тогда итерационные формулы будут выглядеть следующим образом:

Если итерационные формулы примут вид:

Вычисления завершаются тогда, когда для найденных значений выполняется условие , значение корня принимается равным середине отрезка или любому из его концов.

Геометрическая интерпретация – построение касательных и хорд на каждом шаге итераций и нахождение их точек пересечения с осью Ох.

Пример 2: Найти корень уравнения комбинированным методом касательных и хорд с точностью

Выбираем один из найденных отрезков, содержащих только один корень.

Для каждого из концов отрезка проверяем условие . В нашем случае это точка.

Для вычисления корня комбинированным методом (рис. 12) в ячейкиА5, В5записываем относительные ссылки на исходные концевые точки отрезка, далее находим значение данной функции в этих точках С5, D5.В ячейку Е5,записываем формулу производной функции и аргументом будет В ячейку F6записываем формулу оценки погрешности и поиска корня.

В ячейкиА6, В6 записываем формулы, с аргументами из пятой строки:

(ячейкаА6), (ячейкаB6).

С помощью маркера автозаполнения находим ответ.

Рис. 12. Вид экрана для комбинированного метода

Задания для самостоятельного выполнения.

Из таблицы 2 приложения взять исходные данные своего варианта. Вариант определяется по порядковому номеру в списке группы. Найти корни уравнения методом касательных и комбинированным методом для всех отрезков, содержащих единственный корень.