15. Корни многочлена

Определение 5.1. Число а из поля Р или из его расширения называется

корнем многочлена f(x), если значение этого многочлена при х = а равно

нулю, то есть f(а) = 0.

Теорема 5.1 (Безу). Остаток r при делении многочлена f(x) на двучлен

(х-а) равен значению этого многочлена при х = а, то есть r = f(а).

Доказательство. Разделим многочлен f(x) на х–а с остатком. Получим

равенство (1). При х = а будем иметь

f(а) = (а – а) q(а) + r = r

Теорема доказана.

Теорема 5.2. Число а тогда и только тогда является корнем многочлена

f(x), когда f(x) делится на двучлен х–а.

Необходимость. Пусть а – корень многочлена f(x), то есть f(а) = 0. Но

по теореме 5.1 f(а) = r, где r – остаток от деления f(x) на х–а. Следовательно,

r = 0, то есть f(x) M (x - a) .

Достаточность. Пусть f(x) M (x - a) , это значит, что r = 0. Но по теореме

5.1 r = f(а), и следовательно, f(а) = 0, то есть а – корень многочлена f(x).

Последняя теорема позволяет иначе определить корень многочлена.

Определение 5.2. Число а называется корнем многочлена f(x), если f(x)

делится на двучлен х–а. При этом число а называется к-кратным корнем

многочлена f(x), если f(x) делится на (х–а)к , но уже не делится на (х–а)к+1.