Теорема Ляпунова

Рассмотренные теоремы закона больших чисел касаются вопросов приближения некоторых случайных величин к определённым предельным значениям независимо от их закона распределения. В теории вероятностей существует другая группа теорем, касающихся предельных законов распределения суммы случайных величин. Общее название этой группы теорем — центральная предельная теорема. Различными её формы различаются условиями, накладываемыми на сумму составляющих случайных величин.

Закон распределения суммы независимых случайных величин приближается к нормальному закону распределения при неограниченном увеличении , если выполняются следующие условия:

1) все величины имеют конечные математические ожидания и дисперсии:

где .

2) ни одна из величин по значению резко не отличается от остальных:

При решении многих практических задач используют следующую формулировку теоремы Ляпунова для средней арифметической наблюдавшихся значений случайной величины , которая также является случайной величиной (при этом соблюдаются перечисленные два условия):

если случайная величина имеет конечные математическое ожидания и дисперсию , то распределение средней арифметической , вычисленной по наблюдавшимся значениям случайной величины в независимых испытаниях, при приближается к нормальному закону с математическим ожиданием и дисперсией , то есть

Используя функцию Лапласа формулу (9.5) можно записать в удобном для расчётов виде:

где

Следует отметить, что центральная предельная теорема справедлива не только для непрерывных, но и для дискретных случайных величин. Практическое значение теоремы Ляпунова огромно. Опыт показывает, что закон распределения суммы независимых случайных величин, сравнимых по своему рассеиванию, достаточно быстро приближается к нормальному. Уже при числе слагаемых порядка десяти закон распределения суммы можно заменить на нормальный.

40. Локальная теорема Муавра-Лапласа.

Если в схеме Бернулли n стремится к бесконечности, p (0 < p < 1) постоянно, величина ограничена равномерно по m и n , то

где , c > 0, c - постоянная.

Приближённую формулу

рекомендуется применять при n > 100 и npq > 20.