2.5 Аналитические модели в виде дифференциальных уравнений

Наиболее часто аналитические модели в виде дифференциальных уравнений применяются в вибрационной диагностике. Это связано с тем, что вибрация (упругие механические колебания) механизмов - это их реакция на действие приложенных возмущающих сил, а основным математическим аппаратом для анализа вибрации (упругих механических колебаний) технических устройств является аппарат дифференциальных уравнений [5, 7, 9, 13].

Вибрационное (колебательное) поведение технических систем описывается дифференциальным уравнением (системой уравнений), у которого (как правило) в правой части находится аналитическое выражение, определяющее зависимость возмущающих сил от времени. В левую часть этого уравнения (системы уравнений) помещены производные по времени перемещений точек механизма с коэффициентами, характеризующими инерционные (массовые), упругие (жесткостные) и демпфирующие (рассеивающие) свойства этого механизма. Отсюда следует, что анализ виброакустических процессов для целей диагностики позволяет выявить такие неисправности, которые приводят к изменению действующих на механизм возмущающих сил или к изменению инерционных, жесткостных и демпфирующих свойств этого механизма (например, разбалансировку роторов, нарушение соосности роторов, возникновение трещин, неисправности подшипниковых узлов и т.п.). Поясним это на простейшем примере.

Представим диагностируемый механизм в виде простой одномассовой колебательной системы (рис.2.13).

F(t) F(t) - возмущающая внешняя сила;

m - масса системы;

m x(t) C - коэффициент жесткости системы;

h- коэффициент демпфирования в системе;

x(t)- перемещение центра масс по действием

C h возмущающей силы.

Рис. 2.13. Простейшая одномассовая колебательная система

Колебания центра масс этой системы описываются следующим дифференциальным уравнением:

. (2.9)

Общее решение этого уравнения, описывающее зависимость перемещения центра масс от времени, записывается в следующем виде:

, (2.10)

где x_СВ(t) - определяет свободные колебания цента масс, а x_В(t) - вынужденные.

Для того чтобы в ходе решения уравнения (2.9) получить конкретные аналитические зависимости от времени свободных и вынужденных колебаний, необходимо определить в конкретном аналитическом виде зависимость от времени возмущающей силы [5, 20]. При изучении вибрационных процессов чаще всего используется представление как самих колебаний, так и действующих сил в виде ряда Фурье. Поэтому примем, что возмущающая сила, действующая на систему, является гармонической (т. е. , где F₀ - амплитуда возмущающей силы,  - частота возмущающей силы). С учетом этого выражение (2.9) можно переписать в виде

. (2.11)

Решая это уравнение, получим, что свободные колебания являются затухающими и определяются выражением

, (2.12)

где - частота свободных колебаний;

- собственная частота колебаний системы.

Необходимо отметить, что в реальных системах m  h, поэтому свободные колебания механических систем совершаются с частотой, практически равной собственной частоте системы (т.е. ). Воспроизвести свободные колебания в реальных условиях можно путем тестового воздействия на объект коротким импульсом возмущающей силы, то есть ударом.

При возбуждении системы (см. рис. 2.13) ударом она будет совершать свободные колебания с частотой, равной собственной частоте системы. Амплитуда колебаний будет зависеть от соотношения между амплитудой силы и жесткостью системы. Скорость затухания колебаний будет определяться величиной соотношения демпфирования и массы в системе. Отсюда следует, что обнаружить неисправность объекта путем анализа его свободных колебаний можно в том случае, если эта неисправность вызовет изменение частоты свободных колебаний или скорости их затухания. Или, другими словами, если неисправность повлияет на динамические (жесткостные, демпфирующие, массовые) характеристики системы.

Если поведение системы описывается уравнением (2.11) и на нее постоянно действует гармоническая сила, то через определенный интервал времени свободные колебания затухнут, и система будет совершать только вынужденные колебания. Эти колебания будут также гармоническими, а их аналитическая зависимость определяется выражением

x_В(t) = X₀ sin (t), (2.13)

где X₀ - амплитуда вынужденных колебаний;  - частота вынужденных колебаний.

Частота вынужденных колебаний равна частоте возбуждающей силы, а амплитуда колебаний зависит от амплитуды возбуждающей силы и коэффициента динамичности :

X₀ = F₀. (2.14)

Коэффициент динамичности зависит только от характеристик системы и для нашего случая определяется следующим соотношением:

(2.15)

Максимальное значение коэффициент динамичности принимает при равенстве частоты возбуждающей силы собственной частоте системы:  = ₀. Такое явление называется резонансом, и говорят, что система совершает резонансные колебания. Как следует из соотношения (2.15), амплитуда резонансных колебаний зависит от величины возбуждающей силы и демпфирующих свойств системы.

Приведенные соотношения свидетельствуют о том, что диагностика объектов путем анализа вынужденных колебаний возможна в том случае, если неисправности вызывают изменение возбуждающей силы (ее величины или частоты) или изменение динамических свойств самого объекта (массы, жесткости, демпфирования).

Представленные выше зависимости выходного сигнала (колебаний) описыва-ют только одно техническое состояние механизма (исправное) , для получения описаний неисправных состояний необходимо установить зависимости между параметрами силы (входным воздействием) и дефектами или зависимости между массой , жесткостью, демпфированием и дефектами, то есть для вибрационной диагностики характерно задание неявных моделей.

Реальные механизмы обладают числом собственных форм и частот колебаний, для их диагностирования по вибрационным параметрам на практике можно применить следующий приём [13]. Для каждой собственной формы и частоты колебаний реального механизма устанавливается соответствие с гипотетической одномассовой системой, и реальный механизм рассматривается как набор одномассовых систем. Любые механизмы с определёнными допущениями можно представить набором одномассовых систем. Сложное входное возмущение можно представить в виде ряда Фурье, что позволяет анализировать реакцию механизма на отдельное гармоническое возмущение.

При таком подходе основная задача - это правильно определить основные (определяющие) собственные формы и частоты диагностируемого механизма. Исправное техническое состояние будет описываться характерными только для исправного объекта амплитудно-частотным составом возмущающей силы и динамическими свойствами (инерционными, жесткостными, демпфирующими) выбранных определяющих форм колебаний. Для задания неисправных технических состояний необходимо установить зависимости амплитудно-частотного состава возмущающей силы и динамических свойств определяющих форм колебаний от конкретных неисправностей механизма.

При более общем подходе реальную механическую (колебательную) систему можно представить как многомерную систему с m входами и n выходами (рис. 2.14).

F₁ X₁ F_j - внешняя возмущающая

: сила, действующая на j-й

F_j X_i вход системы;

A X_i - перемещение механической

: системы на i-м выходе.

F_m X_n

Рис.2.14. Упрощенное представление диагностируемого объекта в

виде многомерной колебательной системы

В этом случае оператор А представляет собой систему дифференциальных уравнений с n степенями свободы.

. (2.16)

Если система имеет n уравнений, то симметричные матрицы имеют размерность и описывают соответствующие инерционные, демпфирующие и жесткостные свойства системы, а векторы [X] и [F] имеют размерность n и описывают координаты системы и возмущающие силы. Отметим, что и в этом случае диагностическая модель является неявной, что характерно для задач вибрационной диагностики.

Рассмотрим в качестве примера, как изменятся вибрационные характеристики стержня или пластины, которыми можно смоделировать вал или лопатку, при появлении трещины [14]. Представим себе балку на шарнирных опорах или с защемленным концом, у которой появилась трещина (рис. 2.15)

трещина

вал лопатка

Рис.2.15. Схема балки с трещиной

Будем считать, что балка совершает колебания по первой (определяющей) форме, которая на рисунке изображена пунктирной линией. При колебаниях «берега» трещины будут то сжиматься (при сжатии), то разжиматься (при растяжении). Очевидно, что при сжатии материал ведет себя как сплошной. При растяжении, поскольку «берега» трещины раскрываются, жесткость балки уменьшается, так как трещина не работает на растяжение. Таким образом, изделие с трещиной имеет различные жесткости в направлениях сжатия и растяжения. Ранее отмечалось, что жесткость определяет динамические свойства (собственную частоту) системы. Следовательно, у изделия с трещиной изменится собственная частота системы, поскольку она определяется соотношением жесткости и массы (см. формулу 2.16).

Так как мы рассматриваем колебания балки по первой (определяющей) форме колебаний, то смоделируем ее одномассовой системой с соответствующими параметрами (собственная частота системы должна быть равна собственной частоте исследуемой балки). Для упрощения рассмотрения не будем учитывать демпфирование в системе. Одномассовая система, моделирующая балку без трещины при принятых допущениях, представлена на рис.2.16. Свободные колебания этой системы описываются дифференциальным уравнением следующего вида: mx+Cx = 0, которое преобразуется в выражение

m x(t) (2.17)

C где - собственная частота

системы.

Рис.2.16

Определим начальные условия для момента времени t = 0. Будем считать, что для начального момента времени координата центра тяжести массы равна нулю (x=0), а его скорость имеет конечное значение V₀ (= V₀). Уравнение свободных колебаний без демпфирования при наличии в начальный момент скорости определяется следующим уравнением:

. (2.18)

Из этого уравнения следует, что при отсутствии трещины свободные колебания совершаются с частотой, равной собственной частоте системы.

Изменим систему, изображенную на рис.2.16, таким образом, чтобы она отражала изменение динамических характеристик при появлении трещины. Наличие трещины учтем добавочной пружиной С_ДОБ (рис.2.17). С_ДОБ - жесткость, которая учитывается только при сжатии (при x < 0).

х(t)

m

С₀ - жёсткость неповреждённого участка вала;

С₀ С_ДОБ - жесткость вала, которая добавляется

x(t) = 0 при закрытии трещины.

С_ДОБ

Рис. 2.17. Схема системы, имитирующей трещину

Жёсткость С₀ работает и на растяжение, и на сжатие. Она моделирует жесткость неповреждённого участка вала. В первом приближении можно считать, что отношение добавочной жесткости к основной жесткости равно отношению длины трещины к характерному размеру изделия (например, лопатки) в направлении трещины: . Следовательно, в реальной ситуации. Введем следующие обозначения;;;. В силуимеем  _осн .

С учетом принятых обозначений и допущений свободные колебания системы, изображенной на рис.2.17, будут описываться следующими уравнениями

(2.19)

При задании начальных условий t = 0 ; x = 0; можно получить решение этих уравнений. Решение будет периодической функцией с периодом Т  . Время будет изменяться в интервале от -  до _осн. Решение дифференциальных уравнений (2.23) в указанном временном интервале будет иметь следующий вид:

(2.20)

Функция, заданная уравнениями (2.20), несимметрична относительно начала координат. Справа и слева от начала координат несколько отличаются амплитуды и частоты колебаний. Применим к функции x(t) разложение в ряд Фурье, что позволит представить ее в виде суммы отдельных гармонических составляющих: ,

где , а коэффициенты ряда Фурье а_i и b_i определяются известными соотношениями

,

.

Из анализа последних трех выражений следует, что свободные колебания системы, изображенной на рис. 2.17, не являются гармоническими и содержат несколько составляющих. Например, для значения i = 1 будем иметь а₁ = 0 . Для значения i = 2 соответственно получим следующие значения: a₂ = 0; .

Отсюда отношение амплитуд второй и первой гармонических составляющих будет выражаться следующим уравнением:

.

Обобщая полученные результаты, можно сделать следующие выводы:

1.При появлении трещины свободные колебания системы становятся негармоническими, в сигнале присутствуют высшие гармоники, в частности, вторая гармоника.

2. Отношение амплитуды второй (верхней) гармоники к амплитуде первой (основной) гармоники равно 1/3 отношения размера трещины к характерному размеру изделия.

3. Основная частота свободных колебаний изделия с трещиной меньше частоты свободных колебаний изделия без трещины, поскольку _осн .

В заключение следует отметить, что аналитические модели в виде дифференциальных уравнений применяются не только в вибрационной диагностике. Они используются также, например, в методах диагностирования по температурным полям.

Кроме дифференциальных уравнений аналитические модели могут быть представлены алгебраическими уравнениями [1, 10, 27, 31, 41].