§2. Математическое определение центра масс.

Для того чтобы с помощью понятия центра масс получать математически корректные решения геометрических задач, непригодно определение центра масс с помощью «подвешивания на ниточке». Следует разъяснить точный математический смысл понятия центра масс с помощью геометрических терминов.

Выражение «материальная точка mА» будет означать: «Точка А вместе с числом m, которое ей сопоставлено». Число m будем называть массой материальной точки mА; всегда будет предполагаться, что m > 0.

Проведем теперь предварительное эвристическое рассмотре­ние для того чтобы на основе свойств выяснить, как может выглядеть математическое определение центра масс. Рассмотрим сначала две материальные точки m₁A₁ и m₂А₂, и пусть Z — их центр масс (свойство 1). Равенство m₁d₁ = m₂d₂ (свойство 2) можно записать в виде

m₁||=m₂|| (рис. 2), т. е. |m₁|= |m₂|. Учитывая, что векторы и имеют противоположные направления, получаем отсюда m₁ = - m₂, т.е.

m₁+ m₂=. (1)

Итак, если мы хотим, чтобы выполнялись свойства 1 и 2, то центром масс двух материальных точек m₁A₁ и m₂А₂ должна быть такая точка Z, для которой справедливо равенство (1).

Пусть теперь даны три материальные точки m₁A₁, m₂А₂, m₃A₃, и пусть Z — центр масс этой системы материальных точек (свойство 1). Обозначим через С центр масс системы двух материальных точек m₁A₁ и m₂А₂. Тогда, согласно (1),

m₁СA₁+ m₂СA₂= (2)

Далее, согласно свойству 3, центр масс всей системы m₁ A₁, m₂А₂, m₃A₃ совпадает (рис. 2) с центром масс совокупности двух материальных точек (m₁ + m₂) С и m₃А₃, т. е. (согласно (1))

(m₁ +m₂)ZC + m₃ZA₃ = . (3)

Рис. 2

Но мы имеем (m₁ + m₂)=m₁ + m₂ = m₁ (-) + m₂ (-) =m_l + m₂ — (m₁ + m₂) = m₁ + m₂

(см. равенство (2)), и потому равенство (3) принимает вид

m₁ + m₂ + m₃=. (4)

Итак, если мы хотим, чтобы выполнялось также свойство 3, то центром масс трех материальных точек m₁А₁, m₂А₂, m₃А₃ должна быть такая точка Z, что справедливо равенство (4).

Можно было бы анало­гично рассмотреть случай четырех и более материальных точек, но равенства (1) и (4) делают закономерность уже совершенно по­нятной. Итак, в соответствии с приведенным эвристическим разбором мы принимаем следующее основное

Определение. Центром масс (или барицентром) систе­мы материальных точек

m₁А₁, m₂А₂,...,m_nА_n. (5)

называется точка Z, для которой имеет место равенство

m₁ + m₂+ ... + m_n = .(6)

Разумеется, предыдущие рассуждения нельзя рассматривать как доказательство равенства (6) — эти рассуждения имели лишь наводящий характер, а равенство (6) является определе­нием, и потому «доказывать» его справедливость бессмыслен­но. Исходя из определения (6), мы теперь строго докажем, что центр масс системы материальных точек действительно обладает свойствами 1 - 3. Этим и будет осуществлено чисто математическое (не связанное с физическими представлениями) введение понятия центра масс и обоснование его свойств.

Вместо слов «центр масс системы материальных точек» (5) говорят также «центр масс m₁, m₂,...,m_n, помещенных соответственно в точках А₁, А₂,...,А_n».

Центр равных масс, помещенных в вершинах многоуголь­ника (или многогранника), принято называть центроидом этого многоугольника (или многогранника). В частности, по теореме Архимеда точка пересечения медиан треугольника является его центроидом.

Теорема 1. А) Если точка Z служит центром масс системы материальных точек (5), то при любом выборе в пространстве точки О справедливо равенство

= . (7)

Б) Обратно: если хотя бы при одном выборе в пространстве точки О верно равенство (7), то точка Z — центр масс системы (5).

Доказательство. Ограничимся случаем n=2 (при n>2 доказательство аналогично).

А) Выберем произвольно точку О. Равенство

m₁ + m₂ =

можно переписать так:

m₁( -) + m₂( - )= ,

откуда и вытекает требуемое равенство

= .

Проводя рассуждения в обратном порядке, получаем утвержде­ние Б).

Следствие 1. Всякая система, состоящая из конечного числа материальных точек, имеет однозначно определенный центр масс (т. е. справедливо свойство 1).

В самом деле, выберем произвольную точку О. Тогда положение точки Z однозначно определяется формулой (7).

Докажем теперь, что из определения центра масс (см. (1)) вытекает также справедливость свойства 2.

Теорема 2. Центр масс двух материальных точек расположен на отрезке, соединяющем эти точки; его положение определяется архимедовым правилом рычага: m₁d₁ = m₂d₂.

Доказательство. Пусть Z —центр масс системы двух материальных точек m₁А₁ и m₂А₂. Тогда (см. (6))

m₁ + m₂ =,

т. е. m₁ = — m₂. Из этого видно, что векторы и противоположно направлены, так что точка Z лежит внутри отрезка А₁А₂, причем m₁ || = m₂ ||, т.е. m_ld₁=m₂d₂. Это и есть «архимедово правило рычага»; из него видно, что центр масс двух материальных точек ближе к «более массивной» из них, то есть к той, у которой масса больше (рис. 2)

Наконец, докажем справедливость свойства 3.

Рис. 3

Теорема 3. Пусть в системе (5), состоящей из n материальных точек, отмечены k материальных точек m₁A₁,…m_кА_к (рис. 3) и пусть С — центр масс отмеченных материальных точек. Если всю массу отмеченных материальных точек, сосредоточить в их центре масс С, то от этого положение центра масс всей системы не изменится. Иначе говоря, си­стема (5) имеет тот же центр масс, что и система материальных точек (m₁ + ... + m_к)C, m_k+lA_k+1,..,m_nA_n.

Доказательство. Пусть Z — центр масс системы (5), т. е. (см. (6))

m₁ + ... + m_k + m_k+1k+l + ... + m_nn =.

Так как С — центр масс системы материальных точек m₁А₁,…,m_кА_к, то по теореме1

=

(это равенство получается из (7), если 0, Z, n заменить на Z, С, n заменить на Z, C, k). Из написанных двух равенств следует, что

(m₁+ ... + m_k) + m_к+1к+1 + ... + m_nn = ,

а это и значит, что центром масс системы материальных точек (m₁+... ... + m_k)C, m_{к + 1}А_к+1,…,m_nA_n является та же точка Z.

Доказанная теорема позволяет в ряде случаев видоизменить систему материальных точек, сохраняя положение центра масс всей системы. Например, если в исходную систему (5) входят две материальные точки равной массы, расположенные в точках А и В, то от замены этих двух материальных точек одной материальной точкой удвоенной массы, помещенной в сере­дине отрезка АВ, положение центра масс всей системы (5) не изменится. Именно таким путем была доказана теорема Архимеда о пересечении медиан треугольника.

С теоремой 3 связаны следующие простые замечания, которые часто позволяют сделать более краткими решения задач.

Замечание 1. Пусть Z (рис. 4) — центр трех масс, поме­тенных в вершинах треугольника АВС. Тогда прямая AZ пересекает сторону ВС в точке А', являющейся центром тех двух масс, которые помещены в концах этой стороны ВС.

Рис. 4 Рис.5

Замечание 2. Пусть в вершинах А, В, С некоторого треугольника (рис. 5) помещены массы т₁, т₂, m₃; пусть В' — центр масс материальных точек. m₁А и m₃С, а С' — центр масс материальных точек т₁А и т₂В. Тогда точка Z пересечения прямых ВВ' и СС' есть центр всех трех масс, помещенных в вершинах треуголь­ника.

Доказанными теоремами 1 — 3 завершается математическое введение понятия центра масс и доказательство основных его свойств.