4. Класи абелевих алгебр і їхнї властивості

Як уже було відзначено в параграфі 3, алгебра називається нильпотентною, якщо існує такий ряд конгруенцій

називаний центральним, що

для кожного .

Визначення 4.1. У випадку, якщо для нильпотентной алгебри в центральному ряді , тобто якщо для неї , то алгебра називається, абелевої.

Лема 4.1. Будь-яка підалгебра абелевої алгебри абелева.

Доказ:

Нехай підалгебра абелевої алгебри .

Тому що по визначенню , то на існує така конгруенція , що:

1) з

завжди треба

2) для будь-якого елемента

завжди виконується

3) якщо

те

Розглянемо конгруенцію

Дійсно, якщо

для , те

і для кожної -арної опеации маємо

Але оскільки підалгебра алгебри , одержуємо

Виходить, підалгебра алгебри .

Очевидно, що для будь-якого елемента має місце

Таким чином, конгруенція на алгебрі .

Нехай

тоді

те Якщо , те

і, виходить,

Нехай, нарешті,

Тоді

і значить .

Отже, конгруенція задовольняє визначенню 2.1. Лема доведена.

Лема 4.2. Фактор-Алгебра абелевої алгебри абелева.

Доказ:

Нехай алгебра - абелева, тобто . Покажемо, що для будь-якої конгруенції на виконується

Нехай - конгруенція на алгебрі , що задовольняє визначенню 2.1.

Визначимо бінарне відношення на алгебрі в такий спосіб:

тоді й тільки тоді, коли найдуться такі елементи , , , , що

Безпосередньою перевіркою переконуємося, що - конгруенція на алгебрі .

У такий спосіб залишилося показати, що задовольняє визначенню 2.1. Нехай

тоді

Нехай

Тоді , і по визначенню 2.1

При цьому й . Відповідно до наших позначень одержуємо, що

Нехай

Тоді найдуться , що

и

При цьому

Отже,

Але тоді по визначенню 3.1. . А тому що , те

Тепер з того, що

треба, що

Лема доведена.

Лема 4.3. Прямий добуток кінцевого числа абелевих алгебр абелево.

Доказ:

Очевидно, досить показати, що якщо , і - абелеви алгебри, те - абелева алгебра.

Нехай і . Це означає, що на алгебрах і задані конгруенції й задовольняюче визначення 2.1.

Визначимо бінарне відношення на алгебрі в такий спосіб:

тоді й тільки тоді, коли

и

Безпосередньою перевіркою переконуємося, що - конгруенція на алгебрі .

У такий спосіб залишилося показати, що задовольняє визначенню 2.1.

Нехай

тоді

Нехай . Це означає, що й . Але тоді

и

Отже,

Нехай

тоді

І

Це означає, що й . У такий спосіб

Лема доведена.

Результати, отримані в лемах 4.1, 4.2, 4.3 можна тепер сформулювати у вигляді наступної теореми.

Теорема 8 Клас всіх абелевих алгебр мальцевського різноманіття є спадкоємною формацією.

Нехай - конгруенція на алгебрі . - підалгебра алгебри , і . Тоді введемо нове позначення

Лема 4.4. Нехай визначена множина . Тоді - конгруенція на ,

Доказ:

Тому що , те для будь-якого елемента завжди найдеться такий елемент , що . Отже,

де .

У такий спосіб .

Нехай тепер , . Тоді

де . Отже, для кожної -арної операції одержуємо

Тепер, оскільки , те по лемі 3.2 - конгруенція на .

Нехай . Тоді, мабуть,

. Тому що

те

Покажемо тепер, що . Допустимо противне. Тоді найдеться така пари , що й . З визначення треба, що існує така пари , що

Тому що

те застосовуючи мальцевський оператор одержуємо

З леми 2.2. тепер треба, що .

Отже, . Лема доведена.

Підалгебра алгебри називається нормальної в , якщо є суміжним класом по деякій конгруенції алгебри .

Лема 4.5. Будь-яка підалгебра абелевої алгебри є нормальною.

Доказ:

Нехай - підалгебра абелевої алгебри . Тому що , те по лемі 4.4. на існує така конгруенція , що

Лема доведена.