Дослідження універсальних абелевих алгебр

дипломная работа

3. Формаційні властивості нильпотентних алгебр

Як ми вже відзначали, усе алгебри вважаються приналежними деякому фіксованому мальцевскому різноманіттю й використовуються стандартні позначення й визначення з[1].

Нагадаємо, що для й - конгруенції на алгебрі - говорять, що централізує (записується: ), якщо на існує така конгруенція , що:

1) із завжди треба

2) для будь-якого елемента завжди виконується

3) якщо , те

Очевидно, що для будь-якої конгруенції на алгебрі конгруенція централізує . У цьому випадку .

Помітимо, що якщо й - конгруенції на групі й , те для нормальних підгруп і групи й будь-яких елементів , мають місце наступні співвідношення:

Тоді

і в силу транзитивності із цих співвідношень треба, що

По визначенню 2.1 одержуємо, що

Наступне визначення центральності належить Сміту .

Визначення 3.1. , якщо існує така , що для будь-якого ,

Доведемо, що визначення 2.1. еквівалентно визначенню 3.1. означає умову 1) з визначення 2.1. И навпаки, умова 1) означає, що .

Нехай і - конгруенції, що задовольняють визначенню 2.1. З умови 2) треба, що для будь-якого елемента ,

Доведемо зворотне включення.

Нехай . Тому що , те з умови 2) треба, що

У силу транзитивності маємо

і, виходить, у силу умови 3) . Отже

Покажемо, що з визначення 3.1. випливають умови 2) і 3) визначення 2.1. Якщо , те

Це означає .

Для одержуємо, що

звідки .

Відповідно до роботи

Визначення 3.2. Алгебра називається нильпотентною, якщо існує такий ряд конгруенції

називаний центральним, що

Лема 3.1. Будь-яка підалгебра нильпотентної алгебри нильпотентна.

Доказ:

Нехай - підалгебра нильпотентной алгебри . Тому що має центральний ряд

те для кожного на алгебрі існує конгруенція задовольняючому визначенню 2.1. А саме, з

завжди треба

1) для будь-якого елемента

завжди виконується

2) якщо

и

те

Помітимо, що надалі, для скорочення запису, будемо враховувати той факт, що

тоді й тільки тоді, коли

Побудуємо наступний ряд конгруенції на алгебрі :

де

Покажемо, що цей ряд є центральним. Для цього на алгебрі для кожного визначимо бінарне відношення в такий спосіб:

тоді й тільки тоді, коли

Покажемо, що - конгруенція на алгебрі . Нехай

Тоді

і для кожної -арної операції маємо

Отже,

Отже, - підалгебра алгебри .

Очевидно, що для будь-якого елемента має місце

Таким чином, відповідно до леми 2.3, - конгруенція на алгебрі .

Нехай

Тоді й тому що ,

те

Якщо , то й, виходить,

Нехай, нарешті,

Тоді

і тому що

Отже,

Отже, конгруенція задовольняє визначенню 2.1. для кожного . Лема доведена.

Лема 3.2. Нехай і - конгруенції на алгебрі ,

і - ізоморфізм, певний на алгебрі .

Тоді для будь-якого елемента відображення

визначає ізоморфізм алгебри на алгебру , при якому

Доказ:

Очевидно, що - ізоморфізм алгебри на алгебру , при якому конгруенції й ізоморфні відповідно конгруенціям і .

Тому що , те існує конгруенція на алгебрі , що задовольняє визначенню 2.1. Ізоморфізм алебри на алгебру індуцирує у свою чергу ізоморфізм алгебри на алгебру такий, що

для будь-яких елементів , .

Але тоді легко перевірити, що - конгруенція на алгебрі ізоморфна конгруенції . Це й означає, що

Лема доведена.

Лема 3.3. Фактор-Алгебра нильпотентной алгебри нильпотентна.

Доказ:

Нехай

центральний ряд алгебри . Покажемо, що для будь-якої конгруенції на алгебрі ряд

є центральним, тобто

для кожного . У силу відомих теорем про ізоморфизмах для алгебр (див., наприклад, теореми II.3.7, II.3.11 ) і леми 3.2., досить показати, що

Нехай - конгруенція на алгебрі , що задовольняє визначенню 2.1. Визначимо бінарне відношення на алгебрі в такий спосіб

тоді й тільки тоді, коли найдуться такі елементи , що

Безпосередньою перевіркою переконуємося, що - конгруенція на алгебрі .

У такий спосіб залишилося показати, що задовольняє визначенню 2.1.

Нехай

тоді зі співвідношення

треба, що

Тому що

те . Отже,

Нехай . Тоді для деякого елемента , і .

Таким чином,

отже,

Тому що , те це означає, що

Нехай

де

Покажемо, що . У силу визначення найдуться , що

При цьому мають місце наступні співвідношення:

Отже,

Але тоді по визначенню 3.2.

А тому що , те

Тепер з того, що

треба, що

Лема доведена.

Доказ наступного результату здійснюється простою перевіркою.

Лема 3.4. Нехай - конгруенція на алгебрі , . Полога

тоді й тільки тоді, коли для кожного , одержуємо конгруенцію на алгебрі .

Лема 3.5. Прямий добуток кінцевого числа нильпотентних алгебр нильпотентне.

Доказ:

Очевидно, досить показати, що якщо , і - нильпотентне алгебри, те - нильпотентна алгебра.

Нехай

центральні ряди алгебр і відповідно. Якщо , те, ущільнивши перший ряд повторюваними членами, одержимо центральний ряд алгебри довжини . Таким чином, можна вважати, що ці ряди мають однакову довжину, рівну .

Побудуємо тепер ряд конгруенції на алгебрі в такий спосіб:

де тоді й тільки тоді, коли , , .

Покажемо, що останній ряд є центральним, тобто для довільного . Тому що

те на алгебрах і відповідно задані конгруенції й , що задовольняють визначенню 2.1.

Визначимо бінарне відношення на алгебрі в такий спосіб:

і тільки тоді, коли

и

Легко безпосередньою перевіркою переконатися, що - конгруенція на алгебрі . Залишилося показати, що задовольняє визначенню 2.1.

Нехай має місце

Тоді відповідно до уведеного визначення

звідки треба, що

т.е.

Нехай

Це означає

Але тоді

и

Отже,

Нехай має місце

Це означає, що

Виходить, і , тобто . Лема, доведена.

Як відомо, спадкоємною формацією називається клас алгебр, замкнутих відносно фактор-алгебр, підпрямих добутків і відносно підалгебр.

Результати, отримані в лемах 3.1, 3.3, 3.5 можна сформулювати у вигляді наступної теореми.

Теорема 7 Клас всіх нильпотентних алгебр мальцевського різноманіття є спадкоємною формацією.

Визначення 3.3. -арна група називається нильпотентной, якщо вона має такий нормальний ряд

що

и

для кожного .

Тому що конгруенції на -арних групах попарно перестановочні (дивися, наприклад, ), те це дає можливість використовувати отримані результати в дослідженні таких груп.

Лема 3.6. Нехай - -арна група. і - нормальні підгрупи групи й .

Тоді , де й конгруенції, індуковані відповідно підгрупами й на групі .

Доказ:

Підгрупи й індуцирують на групі конгруенції й , обумовлені в такий спосіб:

- -арна операція.

Визначимо на бінарне відношення в такий спосіб:

тоді й тільки тоді, коли існують такі послідовності елементів і з і відповідно, що

Покажемо, що - підалгебра алгебри . Для скорочення запису будемо надалі опускати -арний оператор .

Нехай

Тому що , те

Тому що , те

Тому в силу того, що ,

Отже, - підалгебра алгебри .

Нехай - нейтральна послідовність групи , а, отже, і групи . Тоді з визначення бінарного відношення треба, що

Тим самим довело, що - конгруенція на .

Тo, що задовольняє визначенню 2.1, очевидно. Лема доведена.

Лема 3.7. Нехай - нильпотентна -арна група. Тоді задовольняє визначенню 2.1.

Доказ:

Тому що для кожного , те індуцирує конгруенцію на . У такий спосіб володіє поруч конгруенції, що у силу леми 3.6 буде центральним. Лема доведена.

Зокрема, для довільної бінарної групи звідси треба, що нильпотентна тоді й тільки тоді, коли, задовольняє визначенню 3.2. У цьому випадку теорема 3.2 просто констатує той факт, що клас всіх нильпотентних груп утворить спадкоємну формацію.

Делись добром ;)